Volatilidad local con simulación de Montecarlo

Question

Estoy tratando de implementar una simulación de Monte Carlo utilizando el modelo de volatilidad local (ecuación de Dupire).

Estoy bastante seguro de que puedo construir una superficie LV muy buena, sin embargo, no sé cómo utilizarla en la simulación MC.

La cuestión es que como siempre empiezo la simulación desde el precio spot actual, en el primer paso siempre acabaré con la volatilidad ar-the-money en primer lugar. Por lo tanto, en caso de que quiera fijar el precio de una opción Vanilla simple dentro o fuera del dinero, con un vencimiento igual al primer paso de tiempo (primer tenor de mi superficie) todas las trayectorias utilizarán la volatilidad at-the-money y el precio no será coherente con el mercado.

Seguro que estoy haciendo algo mal, ¿alguien puede ayudarme?

Answer 1

Dejemos que la dinámica neutra al riesgo bajo su modelo LV venga dada por $$ \frac{d S_t }{S_t } = \mu_t dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ Dejemos de lado la contribución de la deriva (no relevante aquí) y apliquemos el lema de Itô para obtener: $$ d \ln(S_t) = -\frac{1}{2}\sigma^2(t,S_t) dt + \sigma(t,S_t) dW_t $$ Para simular a partir de este SDE, es necesario elegir un esquema de discretización .

La opción más sencilla sería optar por el esquema de Euler-Maruyama, que da como resultado, condicionado a la información disponible en $t$ :

\begin{align} \ln(S_{t+\delta t}) &= \ln(S_{t}) - \frac{1}{2}\int_t^{t+\delta t} \sigma^2(u,S_u) du + \int_t^{t+\delta t} \sigma(u, S_u) dW_u \\ &\approx \ln(S_{t}) - \frac{1}{2} \sigma^2(t,S_t) \delta t + z \sqrt{\sigma^2(t, S_t)\delta t} \tag{1} \end{align} donde también hemos asumido una discretización de Euler de las integrales de tiempo + hemos utilizado la isometría de Itô. Al final se ve que efectivamente $S_{t+\delta t} \vert S_t$ será lognormal.

Así que si quieres simular desde $t=0$ a $t=T$ ( $T$ siendo su fecha de interés), utilizando sólo un paso de tiempo $\delta t = T$ Tendrá una distribución lognormal como la de Black-Scholes (o lo que es lo mismo, sin sesgo IV).

Sin embargo, si se rompe el intervalo $[0,T]$ en $i=1,\dots,N$ subintervalos $$ 0 =: t_0 < t_1 = \delta t < \dots < t_N := T $$ y aplicar el método anterior para generar sucesivamente $S_{1} \vert S_0$ entonces $S_2 \vert S_1$ hasta $S_{T} \vert S_{T-\delta t}$ , $S_{T}$ no ser lognormal ya.

Intuitivamente, esto se debe a que se empezará a utilizar gradualmente una volatilidad dependiente de la trayectoria para simular la evolución futura de los precios, al contrario que en el marco de una sola cifra de volatilidad (es decir, Black-Scholes).

Mi otro comentario estaba relacionado con otros esquemas de discretización en los que en cada paso de tiempo la distribución condicional no será lognormal. Esto se debe a que la dependencia de la trayectoria del coeficiente de difusión se tendrá en cuenta dentro de la discretización de la propia SDE (véase, por ejemplo Milstein ). La cuestión de si se puede utilizar un solo paso de tiempo y esperar que coincida directamente con la distribución teórica es entonces una cuestión de convergencia + sesgo de discretización.

Answer 2

Es cierto, pero usted utiliza LV en el dinero muy "localmente". Si tu K>S0 o K<S0, para tu primer paso usarás LV(new K = S0,0) que se considera en el dinero localmente pero no en global ya que S0!=K(al final). Es muy complicado y es como se define el proceso de LV.