Aplicación del axioma débil de la preferencia revelada

Question

El siguiente es un problema que estoy tratando relacionado con el Axioma Débil de la Preferencia Revelada. A continuación he dado mi solución a la situación. Lo que no entiendo es cómo no se viola el WARP.

Un bufete de abogados que busca contratar para cubrir tres puestos recibe solicitudes de Andrew, Barbara y Celia.

El conjunto de alternativas del bufete es el conjunto de posibles decisiones de contratación:

$ X = \{ \phi, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\}, \{a,b,c\} \} $

Para cualquier $Y \subset \{a,b,c\}$ definimos el conjunto de potencias de Y como

$ 2^{Y} \equiv \{Z | Z \subset Y \}$ .

$ 2^{Y}$ es el conjunto de decisiones de contratación que la empresa puede tomar cuando recibe las solicitudes de los abogados de Y.

El presupuesto del bufete establece $ B \in \mathcal{B} $ son los conjuntos de decisiones de contratación que puede tomar tras recibir las solicitudes de alguna combinación de Andrew, Barbara y Celia :

$\mathcal{B} = \{2^{Y} |Y \subset \{a, b, c \} \}$

1) Cuando reciba las solicitudes de Andrés y Bárbara, optará por contratar a Bárbara (y no a Andrés):-

$ C(2^{\{a,b\}}) = \{b\} $

2) Cuando reciba las solicitudes de Bárbara y Celia, optará por contratar a Celia (y no a Bárbara):

$ C(2^{\{b,c\}}) = \{c\} $

El siguiente es el problema que me confunde : P) ¿Qué restricciones impone el axioma débil a la decisión de contratación de la empresa decisión de contratación de la empresa $C(2^{\{a,b,c\}})$ cuando reciba las solicitudes de Andrew, Barbara y Celia?

Mi solución:

Según Mas-Colell et al (Definición 1.C.1) , el Axioma Débil de la Preferencia Revelada dice que si se elige alguna vez x cuando se dispone de y, entonces no puede haber un conjunto de presupuestos que contenga ambas alternativas para las que se elige y y no se elige x.

Por lo tanto, basándome en mi comprensión del WARP, en mi situación anterior, cuando Andrés y Bárbara se presentan, la empresa elige a Bárbara, es decir $ Barbara \succsim_R Andrew$ y cuando Bárbara y Celia se presentan, la empresa elige a Celia, es decir, : $ Celia \succsim_R Barbara $

Aquí vemos que como Bárbara no es elegida sobre Celia , se viola el WARP. Porque WARP implicaría que Bárbara es elegida en todas partes cuando Bárbara es una elección en el conjunto. Por lo tanto, cuando Andrew , Barbara y Celia se aplican, y WARP viola la relación anterior dada , la empresa contrataría sólo a Andrew.

Lo que no entiendo es cómo no se viola el WARP.

Answer 1

Porque WARP implicaría que Bárbara es elegida en todas partes cuando Bárbara es una elección en el conjunto.

Esto no es cierto. En cambio, WARP diría que no es posible que Andrés sea elegido siempre que tanto Andrés como Bárbara estén en el conjunto de elección lo que es diferente a su afirmación anterior.

Sólo porque $b$ se elige del conjunto $\{a,b\}$ no significa que $b$ debe siempre se elija, por ejemplo, del conjunto $\{b,c\}$ . Sólo significa que $b$ se revela-prefiere a $a$ pero eso no significa que $b$ es preferible a todas las demás alternativas posibles (en particular, $c$ ). Por ejemplo, la preferencia $c\succ b\succ a$ es perfectamente coherente con el patrón de elección revelado de la empresa.

Escribe las dos condiciones explícitamente: $$ \begin{align} C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{a\}},\{b\},\color{red}{\{a,b\}})&=\{b\}\tag{1}\\ C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{b\}},\{c\},\color{red}{\{b,c\}})&=\{c\}\tag{2} \end{align} $$ $(1)$ sólo dice que cuando las cuatro opciones --- no contratar a nadie, contratar $a$ sólo, contratar $b$ sólo, contratar a ambos --- están presentes, la empresa contrata $b$ solamente. Igualmente, $(2)$ dice siempre que las cuatro opciones --- no contratar a nadie, contratar $b$ sólo, contratar $c$ sólo, contratar a ambos --- están presentes, la empresa contrata $c$ solamente. Estos dos son consistentes con WARP (para $(1)$ la x en su definición citada es $a$ y y es $b$ para $(2)$ x es $b$ y y es $c$ ).

Para las restricciones de $C(2^{\{a,b,c\}})$ escribiéndolo explícitamente, obtenemos $$ C(\color{red}{\varnothing},\color{red}{\{a\}},\color{red}{\{b\}},\color{black}{\{c\}},\color{red}{\{a,b\}},\color{black}{\{a,c\}},\color{red}{\{b,c\}},\color{black}{\{a,b,c\}})=\{\{a\},\{a,c\},\{a,b,c\}\} $$ donde los elementos coloreados en rojo se revelan como inferiores según $(1)$ y $(2)$ .