Hay una bonita nota expositiva:
Carter M., 1995, "An expository note on the composite commodity theorem", Economic Theory, 5, 175-179
y una interesante generalización de
Lewbel, A., 1996, "Aggregation without Separability: A Generalized Composite Commodity Theorem", American Economic Review, 86, 524-543.
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Una de las razones por las que es difícil encontrar una demostración del teorema, es que el llamado "teorema de la mercancía compuesta" no tiene realmente el estatus matemático de un teorema. Se trata más bien de un principio que se desprende directamente de la reparametrización siguiente.
Dejemos que $x\in \mathbb{R}^J_+$ denota el sistema de demanda desagregada, que depende del vector de precios $p \in \mathbb{R}^J_+$ y el presupuesto $b>0$ . Los precios relativos se denominan $\alpha = p/\textbf{p}$ donde el índice de precios agregado es $\textbf{p} \in \mathbb{R_+}$ . Si $\alpha $ es un vector de constantes, podemos simplificar el sistema de demanda de manera que sólo dependa del precio agregado $\bf{p}$ : $$ x(p,b) = x(\alpha \mathbf{p},b) \equiv \mathbf{x}(\mathbf{p},b). $$ Tenga en cuenta que ahora $\mathbf{x}:\mathbb{R^2_+} \rightarrow \mathbb{R}^J_+$ . Si también se quiere agregar las cantidades elementales, es posible (por ejemplo) definir la cantidad compuesta agregada como: $$ \mathbf{X}(\mathbf{p},b) = \alpha^T\mathbf{x}(\mathbf{p},b), $$ donde $ \mathbf{X}:\mathbb{R^2_+} \rightarrow \mathbb{R}_+$ . En este caso, los gastos elementales y agregados son los mismos, en el sentido de que: $$\mathbf{p}\mathbf{X}(\mathbf{p},b)=p^Tx(p,b).$$
