Digamos que me dan la función de producción de la forma
\begin{equation*} Y= F(K,L,A) = (\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1}{\epsilon}} \end{equation*}
Dónde $\epsilon, \alpha \in (0,1)$ .
Ahora necesito comprobar tres cosas:
- Que los productos marginales son positivos y son decrecientes
- Se cumplen las condiciones de Inada
- Esencialidad
- Homogeneidad lineal
Las condiciones 2 y 4 implican la condición 3, por lo que no es necesario comprobarla. Al tomar las derivadas con respecto a $K$ Veo que
\begin{equation*} F_K = \alpha K^{\epsilon -1}(\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1 - \epsilon}{\epsilon}} >0 \end{equation*}
Lo cual es positivo. Ahora necesito demostrar que $F_{KK}< 0$ . Ver:
\begin{equation*} F_{KK} = \alpha (\epsilon -1) K^{\epsilon -2}(\alpha K^{\epsilon} + (1 - \alpha)Y^{\epsilon})^{\frac{1 - \epsilon}{\epsilon}} + \alpha^2 K^{2\epsilon -2} \frac{1- \epsilon}{\epsilon} (\alpha K^{\epsilon} + (1- \alpha) L^{\epsilon})^{\frac{1}{\epsilon}-2} \end{equation*}
Sin embargo, no pude encontrar la manera de decidir el signo de esta expresión. Cualquier ayuda se agradecería. Gracias.
