¿Cómo puede un bono con descuento profundo con un plazo de vencimiento más largo tener una duración más baja que un bono idéntico con un plazo de vencimiento más corto?

Question

He aquí un breve extracto sobre el capítulo de renta fija del plan de estudios del CFA de nivel 1 de 2020-2021:

4. Generalmente, para el mismo tipo de cupón, un bono a más largo plazo tiene un que un bono a corto plazo cuando los tipos de descuento del mercado cambian en la misma medida (el efecto del vencimiento). de mercado cambian en la misma cantidad (el efecto del vencimiento).

[...]

Hay excepciones al efecto de la madurez. [Pero] son raras en en la práctica. Sólo se dan en el caso de bonos de bajo cupón (pero no de cupón cero), bonos a largo plazo que se negocian con descuento. El efecto del vencimiento siempre siempre se produce en los bonos de cupón cero, al igual que en los bonos con precio a la par o a una prima por encima del valor nominal.

Llevo más de una hora tratando de entender esto. ¿Cómo puede ser esto?

(Macaulay) la duración es el tiempo medio ponderado hasta que se recupera el dinero. Entonces, ¿cómo es posible que un mayor tiempo hasta el vencimiento le haga recuperar su dinero antes? Consideremos dos bonos:

1. \100 dólares de valor nominal, cupón del 10% pagado anualmente, tipo de descuento de mercado (YTM) del 20%, 20 años hasta el vencimiento . La duración de Macaulay: 6,20 años . Duración modificada: 5.1695.
2. \100 dólares de valor nominal, cupón del 10% pagado anualmente, tipo de descuento de mercado (YTM) del 20%, 30 años hasta el vencimiento . La duración de Macaulay: 6,08 años . Duración modificada: 5.0629.

¿Por qué es así? Compruébalo en Excel:

Answer 1

Probablemente sea más fácil de ver con el $Dur, que se puede expresar de la siguiente manera (asumiendo principal=1):

${\rm Dur}=\frac{c}{y^2}\left(1-{\frac { yT+y+1}{ \left( 1+y \right)^{T+1} }}\right)+\frac{T} {\left( 1+y \right) ^{T+1}}={\rm Cpn \,Contrib+Princp\, Contrib}$

El numerador en el componente principal es lineal (T), por lo que a medida que T crezca, el denominador empezará a superar al numerador, y por tanto este término bajará. En el término del cupón, el numerador en el término después del signo menos también es lineal en T, por lo que su denominador empezará a crecer más que el numerador, y por lo tanto este componente empezará a aumentar. Si c es demasiado pequeño, el aumento del componente del cupón puede no compensar totalmente la disminución del componente principal y, por tanto, la Duración bajará. Puede hacer la misma comparación para el precio para obtener la respuesta en términos relativos.

Answer 2

Es una muy buena pregunta. Esto también se menciona en " Matemáticas de bonos: la teoría detrás de las fórmulas " - pero el autor no entra en muchos detalles, sólo lo menciona como una especie de rareza matemática, si no recuerdo mal.

Si hay una prueba rigurosa con una fórmula de forma cerrada, las matemáticas me superan.

Lo que puedo hacer es ayudarte a pensar en ello empíricamente.

Considere un bono que paga un 5% anual. Si se traza la duración frente al vencimiento para varios valores del rendimiento, se ve algo así:

[ACTUALIZACIÓN: el gráfico dice "duración modificada" pero, en realidad, es el de Macaulay - perdón por la errata].

El cupón sigue siendo el mismo. A medida que aumenta el rendimiento (la Y de la leyenda), es decir, a medida que baja el precio del bono, la curva desciende cada vez más.

Hasta un cierto umbral, a medida que aumenta el vencimiento, la duración aumenta, pero siempre en menor medida (1ª derivada positiva, 2ª derivada negativa).

Más allá de ese umbral, el gráfico primero sube y luego baja. Esto se ve muy claramente en el caso intencionadamente extremo de un rendimiento del 90% (la curva más baja de arriba).

¿A qué se debe esto? Es cierto que la duración de Macaulay es un tiempo medio ponderado, pero, concretamente, es uno en el que se pondera el PV de cada pago por tiempo/precio. En la mayoría de los casos, el aumento del vencimiento aumenta esta media ponderada, pero, cuando el bono está muy descontado, ocurre lo contrario. La mejor forma intuitiva que se me ocurre para explicarlo es que los pesos son tales que la media ponderada se hace más baja (lo cual es un poco circular como explicación, lo comprendo).

A continuación he desglosado algunos detalles. Cupón del 5%, rendimiento del 90%. Si el vencimiento es de 4 años, la duración de Macauly es de 3,11

Si sube a 5 años, la duración sube a 3,24.

Pero si sube a 6 años, la duración vuelve a bajar a 3,11.

Espero que esto sea útil. Si alguien conoce una explicación más rigurosa, también me interesaría.

Answer 3

Suponiendo que los tipos de interés se componen de forma continua, el pago final del bono depende de : t*exp(-rt). Si lo representas en función del tiempo, verás que empieza a disminuir después de t = 1/r. Suponiendo unos tipos del 1%, esto significaría que después de 100 años el pago del vencimiento final empezará a disminuir.

Ahora bien, un bono con cupones muy bajos tendrá una gran parte de su pago al vencimiento y, por tanto, la duración se verá afectada en gran medida por el pago final. Si la escala temporal es lo suficientemente grande (> 1/r), la f = pago final descontado*tiempo de vencimiento de un bono con menos vencimiento será mayor que el de un vencimiento mayor.

Y puesto que f desempeña un papel importante en la duración de un bono de bajo cupón, la duración del bono de bajo vencimiento será mayor que la del bono de gran vencimiento.

Esto es más bien una intuición matemática, me encantaría ver alguna intuición financiera/práctica para esto.