Producción en condiciones de incertidumbre

Question

Actualmente estoy tratando de resolver algunos problemas antiguos para un próximo examen de micro. Uno de ellos es sobre la producción bajo incertidumbre. El ejercicio me parece estándar, pero no estoy seguro de tener la solución correcta. El pregunta es la siguiente.

Una empresa produce bienes con la función de costes $C(x) = cx^2$ donde $x$ es el bien. El precio $p_x$ está dada exógenamente. La función de utilidad del productor viene dada como $u(y) = \sqrt{y}$ donde $y$ es el ingreso debido al beneficio. Determinar la cantidad óptima de bienes producidos $x$ en el caso i.) $p_x$ es determinista y (ii.) el precio es aleatorio cuando es $p^0_x$ con una probabilidad de 0,5 y $p^1_x$ con una probabilidad de 0,5. ¿Cómo cambiará la producción si hay algún precio futuro $p^f_x > \mathbb{E}[p^s_x]$ ?

Mi solución es la siguiente. Primero, tenemos que el beneficio de la empresa es

$$G = p_xx - cx^2$$

y su utilidad

$$ u(y) = \sqrt{p_xx - cx^2}$$

Ahora, con precios deterministas, el propietario de la empresa quiere maximizar la utilidad esperada, por lo que

$$\frac{d\mathbb{E}[U]}{dx} = (p_xx - cx^2)^{-\frac{1}{2}}(p_x - 2xc) = 0$$

y por lo tanto $$x = \frac{p_x}{2c}$$

En el caso de los precios aleatorios, la condición de optimalidad es ahora

$$ \frac{d\mathbb{E}[u]}{dx} = \frac{1}{2}((p^0_xx - cx^2)^{-\frac{1}{2}}(p^0_x - 2xc) + (p^1_xx - cx^2)^{-\frac{1}{2}}(p^1_x - 2xc) = 0$$

¿verdad? Después de eso tengo que resolver para $x$ y tengo el resultado.

Por último, si hay algún precio futuro que sea más alto que el precio previsto, no sé muy bien cómo proceder. Intuitivamente, diría que si el propietario produjera más bienes, pero ¿cómo podría demostrarlo de forma analítica?

Answer 1

Con precios aleatorios, el productor resuelve

$$\max_x E[U(G(x,p)]$$

Compactación $U(G(x,p) \equiv U$ el f.o.c es

$$E[U'\cdot (p_x-2cx)]= 0 \implies x^* = \frac 1 {2c}\cdot \frac {E[U'\cdot p_x]}{E[U']} \tag{1}$$

o

$$x^* = \frac 1 {2c}\cdot \left[E(p_x) + \frac {\text{Cov}(U', p_x]}{E[U']}\right] \tag{2}$$

Ahora, $$U' = \frac 1{2(p_xx - cx^2)^{1/2}}$$

y $U'$ está disminuyendo en $p_x$ . Entonces (ver por ejemplo Egozcue, Cogent Mathematics (2015), 2: 991082 ), Teorema 2(2) p. 6)

$$\text{Cov}(U', p_x] <0$$

Por lo tanto, concluimos que

$$\implies x^* < \frac {E(p_x)} {2c}$$

siendo la RHS la solución neutral al riesgo.

Si se introduce la hipótesis de la distribución de $p_x$ en $(1)$ nos da una función implícita para $x^*$ . Si uno es lo suficientemente paciente como para pasar por un poco de álgebra aburrida después de eso, uno obtendrá una solución de forma cerrada muy simple y agradable.

En cuanto a la última pregunta, está mal redactada y no tiene mucho sentido, o es una pregunta trampa, ya que el montaje implica que el productor debe comprometerse a un nivel de producción antes de que el precio se realice realmente. Si esto fuera no el caso, entonces el productor no tendría ninguna razón para resolver un problema de maximización de la utilidad esperada, sino que esperaría a ver el precio real y optimizaría en consecuencia.

Si la última pregunta alude a un problema de maximización dinámica, entonces se trata de una situación totalmente nueva, y se necesitan supuestos y modelos adicionales para proceder.