Derivar la función de costes para una función de producción homotética

Question

Me cuesta entender los pasos para demostrar que la función de costes de una función de producción homotética debe ser expresable en la forma $C(w, q) = a(w)b(q)$ .

Dado que la función de producción es homotética, sé que la proporción óptima de insumos que minimiza los costes, dados los mismos costes de insumos, debe ser exactamente la misma para diferentes cantidades de producción, es decir

$$ \frac{H^j(w,q)}{H^i(w,q)} = \frac{H^j(w,q')}{H^i(w,q')} $$

Reordenando esto llegamos a la proporción:

$$ \frac{H^i(w,q)}{H^i(w,q')} = \frac{H^j(w,q)}{H^j(w,q')} $$

Esto tiene sentido porque, para mantener constante la proporción de los insumos, necesitaríamos que ambos insumos de minimización de costes aumentaran en el mismo factor al pasar de $q$ a $q'$ . Sin embargo, la prueba dice que "para que lo anterior sea cierto está claro que la relación debe ser independiente de w Así pues, el establecimiento de $q' = 1$ "

$$ \frac{H^1(w,q)}{H^1(w,1)}= \frac{H^2(w,q)}{H^2(w,1)} = \cdots =\frac{H^m(w,q)}{H^m(w,1)} = b(q) $$

y así

$$ H^i(w,q) = b(q)H^i(w, 1) $$

Los pasos siguientes para llegar a $C(w, q) = a(w)b(q)$ es bastante comprensible y sencillo para mí.

Sin embargo, lo que no entiendo es cómo puedes ver claramente que la proporción debe ser independiente de w . Seguramente la relación sólo establece que para un determinado w los insumos deben aumentar en el mismo factor/relación. Pero, ¿cómo implica eso que la proporción tiene que ser exactamente la misma para todos w ?

Editar Para los que preguntan, esto viene de una pregunta de ejercicio en el libro de texto de Frank Cowell: Microeconomía: Principios y Análisis.

Answer 1

Debe haber un error en su prueba. ¿De dónde viene tu prueba? La parte "para que lo anterior sea cierto está claro que la proporción debe ser independiente de $w$ no puede ser verdadera. Su relación debe ser independiente de $q$ pero no de $w$ . Tomemos por ejemplo el caso Cobb-Douglas (que corresponde a una función de producción homotética) para un contraejemplo. Véase Diewert o Chambers para una demostración de su resultado:
Chambers, Robert G., 1988, Applied Production Analysis, Cambridge University Press.
Diewert, E., 1982, "Duality approaches to microeconomic theory", en Handbook of Mathematical Economics, Volume 2.
En el caso de Cobb Douglas, la función de producción $$q=x_1^\alpha x_2^\beta$$ se obtienen las condiciones de primer orden $$\frac{w_1}{\lambda}=\alpha\frac{q}{x_1}$$ $$\frac{w_2}{\lambda}=\beta\frac{q}{x_2},$$ para que la demanda óptima de insumos satisfaga (en sus anotaciones) $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{\alpha}{\beta}\frac{w_2}{w_1} \equiv \frac{c_1(w)}{c_2(w)},$$ que es independiente de $q$ y supone (demuéstrelo) que $$x_1=H^1(w,q)=c_1(w)b(q),$$ $$x_2=H^2(w,q)=c_2(w)b(q).$$ De ello se deduce que la función de costes $$c(w,q)=w_1H^1(w,q)+w_2H^2(w,q)=a(w)b(q),$$ con $a(w)=...$ . Una derivación similar es válida para el caso homotético más general, ya que por definición de homotecia, la tecnología de producción puede escribirse entonces como $$y=f(x)=g(h(x))$$ donde h es homogénea de grado uno...

Answer 2

El hecho de que la proporción sea independiente de w proviene de una de las propiedades de las funciones homotéticas. Una función homotética, por definición, es una transformación monótona de una función homogénea. Así, para cualquier función homotética, un resultado conocido es que $(z_1) = (z_2)$ implica que $(tz_1) = (tz_2)$ para cualquier combinación de entrada $z_1$ y $z_2$ . Por lo tanto, para dos combinaciones/relaciones de entrada cualesquiera a lo largo de la misma isocuanta (es decir $(z_1) = (z_2)$ ) y por lo tanto, cualquier relación de precios (ya que para una función homotética la relación de precios = MRTS está determinada únicamente por la relación de insumos) multiplicando exactamente por el mismo factor $t$ te lleva desde la isocuanta donde $(z_1) = (z_2)$ a $(tz_1) = (tz_2)$ .

Como resultado, la relación anterior es independiente del precio w (es decir, en qué punto a lo largo de la isocuántica te encuentras) porque no importa dónde esté, siempre hay que multiplicar por la misma t para llegar de q a q', que en mi caso es el cociente

$$ t = \frac{H^i(w,q)}{H^i(w,q')} = \frac{H^j(w,q)}{H^j(w,q')} $$