Condición de optimalidad lógicamente inconsistente

Question

Estoy leyendo un libro sobre política monetaria, y define el consumo del hogar representativo como $$C_t = \int_0^1 C_t(i) di$$

por lo que, básicamente, una suma sobre el consumo del bien $i$ .

Luego, dice que el consumo de cada bien es idéntico $$C_t(i) = C_t(j) = C_t$$

Esta ecuación no tiene ningún sentido lógico. ¿Cómo puede $C_t(i) = C_t$ para todos $i$ ? $C_t$ se DEFINE como una suma integral sobre todos aquellos $C_t(i)$ . No pueden ser idénticos.

Eso es como decir 4 = 2 + 2, y luego decir 4 = 2.

Answer 1

Hay $C_t$ el número y $C_t()$ la función. Esto ya es así en tu primera ecuación. Tu segunda ecuación dice que la función es constante sobre $[0,1]$ . En cuyo caso es cierto que $C_t$ el número es igual a $C_t()$ el valor de la función por 1.

Lo mismo con una notación diferente: $$ C_t \triangleq \int_0^1 f_{C,t}(i) di.$$ Si existe una constante $c_t$ donde para todo $i$ $$f_{C,t}(i) = c_t.$$ entonces $$ C_t \triangleq \int_0^1 f_{C,t}(i) di = \int_0^1 c_t di = c_t. $$

Answer 2

Supongo que no tendría ningún problema en el caso general de $n \ (>0)$ bienes, en lugar de $1$ . En este caso, el consumo idéntico la hipótesis se convierte en $C_t(i) = C_t(j) = C_t/n$ que lleva a

$$C_t = \int_0^n C_t(i) di = \int_0^n \frac{C_t}{n} di = \frac{C_t}{n} \int_0^n di = \frac{C_t}{n} [ i ]^n_0 = \frac{C_t}{n} (n- 0) = C_t$$

Simplemente, ponte $n=1$ y obtendrá su respuesta.

---

Eso es como decir $4 = 2 + 2$ y luego decir $4 = 2$ .

En realidad, es más bien decir que, por ejemplo $4 = 1 + 3$ y luego decir $4 = 2 \times \frac{4}{2}$

Answer 3

Las otras dos respuestas son, por supuesto, correctas, pero no proporcionan una forma de entender (o evaluar la idoneidad) de este resultado correcto pero contraintuitivo.

Para completar la discusión matemática, efectivamente, se sostiene, si $c(i) = c$ que

$$\int_0^1 c di = c \int_0^1 di = c \tag{1}$$

Este es uno de esos casos útiles en los que podemos ver claramente que tratar una integral como "más o menos como una suma", no siempre funciona. Por la integral hacemos no "sumar" cantidades consumidas distintas por la razón fundamental de que el índice $i \in \mathbb R$ y no $i \in \mathbb N$ ni $i \in \mathbb Q$ . Así que no puede ni siquiera escribir una expresión de suma, que por definición requiere un índice a lo sumo contablemente infinito.

Entonces surge la cuestión: ¿es la herramienta matemática específica apropiada para modelar el fenómeno económico que intenta modelar aquí? La perplejidad de la OP es muy real y válida, ya que, efectivamente, la expresión dice "consumo un continuo de bienes cada uno en la misma cantidad ". $c$ y el resultado es que mi consumo total es sólo $c$ ".

En el mundo real decimos "consumo $n \in \mathbb N$ mercancías cada una en la cantidad $c$ y mi consumo total es entonces $n \cdot c$ ."

Obsérvese que la discrepancia se habría evaporado si el autor del libro hubiera utilizado "masa" $n$ de bienes en lugar de $1$ (para la variable ficticia de integración $v$ y el consumo por bien relacionado con $[0,n]$ bienes):

$$\int_0^n c_n dv = c_n \int_0^n dv = n\cdot c_n \tag{2}$$

Esto también nos ayuda a entender por qué el $[0,1]$ Después de todo, la formulación se utiliza en muchos modelos económicos que utilizan esta representación del consumo: es sólo una cuestión de reescalado.

Supongamos que empezamos con la ec. $(2)$ que concuerda mejor con la intuición. Definir la variable

$$i \equiv v/ n \implies di = \frac {dv}{n}\implies ndi =dv,\;\;\; v=0\implies i=0,\;\;\; v=n \implies i=1 $$

Aplicando el cambio de variables tenemos

$$\int_0^n c_n dv = \int_0^1 c_n ndi $$

A continuación, establezca $c \equiv n\cdot c_n$ para conseguir

$$\int_0^n c_n dv = \int_0^1 cdi = c\int_0^1 di = c $$

En otras palabras, cuando tenemos un continuo de bienes $[0,1]$ como los autores, y decimos que consumimos lo mismo $c$ "por bien", equivale a decir que tenemos un continuo de bienes $[0,n]$ y consumimos $c_n=c/n$ de cada uno.