En econometría, ( este material se encuentra en gran parte de la literatura, pero, en mi opinión, se puede encontrar más claramente en el texto de Harvey, "análisis econométrico de series temporales"), generalmente hay dos versiones de una variable dependiente específica rezagada que se suele denominar rezago distribuido de Koyck. ( Es un caso muy especial de un rezago distribuido ).
A continuación escribo la versión 1 y la versión 2.
A continuación se muestra la versión 1.
1): $y_t = \rho \times y_{t-1} + \beta \times x_t + \epsilon_t$
donde $\epsilon_t = (v_t - \rho v_{t-1}) \sim N(0, \sigma^2) $ .
También existe la versión 2, que es
2): $y_t = \rho \times y_{t-1} + \beta \times x_t + \epsilon_t$
donde $\epsilon_t \sim N(0, \sigma^2) $ .
Así, en la versión 1, el término de error es tal que $v_t$ es AR(1) y en la versión 2), el término de error es ruido puro.
Mi pregunta es la siguiente: ¿Existe una manera de escribir en una versión donde el término de error es MA(1)? Inicialmente pensé que debía haber algún tipo de simetría porque tenemos el caso de ruido puro y el caso de AR(1), así que pensé que debía haber una versión con un término de error MA(1). Pero ahora no estoy tan seguro y de hecho no creo que lo haga. Gracias por cualquier idea.
EDICIÓN BASADA EN LA BUENA PREGUNTA DEL COMENTARIO:
Hola: $\frac{\epsilon_t}{(1 - \rho L)} = v_t$ donde $L$ es el operador de retardo.
Por lo tanto, $v_{t}$ puede considerarse como una media suavizada exponencialmente de los términos de error de ruido blanco pasados $\epsilon_{i}$ .
Ahora, la versión 1) del modelo se puede reescribir de la siguiente manera:
$y_t = \rho \times y_{t-1} + \beta \times x_t + (1-\rho L) v_{t} $
que se puede reescribir como
$y_{t}(1 - \rho L) = \beta \times x_t + (1 - \rho L) v_{t} $
Entonces, dividiendo el conjunto de la ecuación por $(1 - \rho L)$ resulta en lo que yo llamo la forma larga de la versión 1 del modelo:
$y_{t} = \beta \times \sum_{i=0}^{\infty} \rho^{i} x_{t-i} + v_{t}$
Así, el modelo implica que la respuesta es $\beta$ veces una media suavizada exponencialmente del pasado $x_{i}$ más v_{t}. Pero, podemos reescribir el último término que resulta en
$y_{t} = \beta \times \sum_{i=0}^{\infty} \rho^{i} \times x_{t-i} + \sum_{i=0}^\infty \rho^{i} \epsilon_{t-i}$
Así, en la versión 1), la respuesta puede considerarse como una versión suavizada exponencialmente del pasado $x_{t}$ más la versión suavizada exponencialmente de los términos de error pasados, es decir, el $\epsilon_{i}$ .
No lo escribiré, pero, en la forma larga de la versión 2, el término de error no es una media suavizada exponencialmente del pasado $\epsilon_{i}$ . Los términos de error del pasado no intervienen y el término de error es sólo $\epsilon_{t}$ .
Gracias por la buena pregunta.
SEGUNDA EDICIÓN BASADA EN LA BUENA PREGUNTA DEL COMENTARIO:
Cuando tu pregunta me hizo escribirlo en forma larga, me di cuenta de que una estructura MA(1) podría ser simplemente:
$y_{t} = \beta \times \sum_{i=0}^{\infty} \rho^{i} \times x_{t-i} + \epsilon_t + \rho \epsilon_{t-1} $
Esto sería un término de error MA(1) para el rezago distribuido por Koyck. No creo que se simplifique de ninguna manera al escribirlo en la forma corta, pero sigue siendo una buena manera de pensar en una tercera posibilidad. En un caso, el término de error dura un periodo. en otro caso, el término de error es una media suavizada de errores pasados y en el último caso, el error es una combinación lineal de los dos últimos errores. Está claro que tu pregunta me ha llevado totalmente a esto y creo que lo que dices en tu comentario es lo mismo que aquí, así que muchas gracias por la información.
