He aquí un ejemplo en el que ambos son realmente compatibles: La función de utilidad del consumidor $U:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ viene dada por $U(c,1-n_ns)=c-n_s$ la dotación laboral inicial es $1$ y $F:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ viene dada por $$F(n)=n(1-e^{-n}).$$ Esta función tiene TIR, pero sigue convirtiendo una unidad de trabajo en menos de una unidad de consumo con cualquier cantidad de insumos. Si se deja que el precio del consumo sea $1$ y $w\geq 1$ En este caso, se tiene un equilibrio competitivo en el que no se produce nada y el consumidor se limita a consumir su dotación.
Despotricar del lado: La definición habitual de IRTS es que cuando las entradas se multiplican por un número mayor que $1$ La producción resultante aumenta más que proporcionalmente. Según esta definición, no existe ninguna función de producción para la que un insumo de $0$ es factible tiene IRTS. Incluso si uno se limita a los insumos no nulos, la definición no funciona como la gente parece pensar. El ejemplo estándar de una función de producción con IRTS es una función de producción Cobb-Douglas en la que la suma de los exponentes es mayor que $1$ . La definición estándar de IRTS aplicada a una combinación de entrada con algunas, pero no todas, las entradas $0$ mostraría que el IRTS no se sostiene aquí. Sí funciona cuando nos limitamos a las combinaciones de entrada que producen una salida positiva, y la función del ejemplo es de este tipo.
Sin embargo, se puede demostrar que no existe ningún equilibrio competitivo si se hace el supuesto de que el consumidor prefiere convertir parte del trabajo en consumo y la función de producción produce un output cero con un input cero y es continua y creciente, y la función de utilidad del consumidor es estrictamente creciente en el interior. Por ejemplo, con la utilidad Cobb-Douglas, todo paquete en el que el consumidor disfruta tanto del consumo como del ocio es mejor para el consumidor que un paquete en el que sólo disfruta de uno de ellos en una cantidad positiva. Dado que todo equilibrio competitivo es Pareto eficiente por el primer teorema del bienestar (cuyos supuestos se cumplen aquí), aquí debe producirse alguna cantidad de consumo, y esto no es compatible con la maximización de beneficios. En efecto, supongamos que existe un equilibrio con $p$ el precio del bien de consumo y $w$ el salario. Dado que la función de utilidad del consumidor es estrictamente creciente en el interior, sólo puede existir un paquete de consumo óptimo si $p>0$ y $w>0$ . Dejemos que $c_e$ y $n_e$ sean el consumo y la oferta de trabajo de equilibrio. La eficiencia requiere $c_e>0$ y, por tanto, también $n_e>0$ . Como la empresa siempre puede tener un beneficio de $0$ al no utilizar ningún insumo, la maximización del beneficio implica que $$pF(n_e)-wn_e\geq 0.$$ Pero entonces, $$p F(2n_e)-w 2n_e>p 2F(n_e)- w 2n_e=2\big(p F(n_e)-wn_e\big)\geq p F(n_e)-wn_e.$$ Aquí, la desigualdad estricta proviene de IRTS y la débil de $pF(n_e)-wn_e\geq 0.$ Vemos que el plan de producción que utiliza una entrada de $2n_e$ produce un beneficio mayor que el plan de producción que utiliza $n_e$ En este caso, la empresa maximiza el beneficio con un plan de producción con insumos $n_e$ .
