¿Resolver la demanda walrasiana, la utilidad de tres variables y la convexidad de las preferencias?

Question

Me han dado $U(x,y,z) = x^\frac{2}{3}y^\frac{1}{3} + z$ . Se me pide que resuelva lo siguiente:

(i) Demuestre la convexidad de estas preferencias (¿convexas, estrictamente convexas o ninguna?)
(ii) ¿Resolver la demanda walrasiana?

Para la parte 1, he calculado el determinante de la matriz hessiana de borde y he obtenido $\frac{320}{81}*\frac{1}{x^\frac{2}{3}y^\frac{4}{3}}$ . Aquí llegué a la conclusión de que si x e y son mayores que cero (esto no me lo dieron, lo supuse), entonces el determinante es mayor que cero, así que $U$ debe ser cuasi-cóncava y, por tanto, las preferencias son convexas. ¿Es esto correcto?

Para la segunda parte, he considerado tres casos.

Caso 1: cuando $z = 0$ y $x,y > 0$ . Esto fue sólo el Walrasian para el estándar Cobb Douglas que nos queda.

Caso 2: cuando $x$ o $y = 0$ y $z > 0$ . Toda la riqueza se gasta también en z.

Caso 3: $x,y,z > 0$ . Esto no lo pude calcular y no supe cómo proceder.

Nota: La restricción presupuestaria es estándar $P_1X+P_2Y+P_3Z = W$

Para el caso 3: he configurado el lagrangiano y he utilizado las condiciones de Kuhn Tucker:

1. $\frac{2}{3}$ * $(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} - \lambda P_1 \le 0$
2. $\frac{1}{3}$ * $(\frac{x}{y})^{\frac{2}{3}} - \lambda P_2 \le 0$
3. $1 - \lambda P_3 \le 0$
4. $x[\frac{2}{3}$ * $(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} - \lambda P_1] = 0$
5. $y[\frac{1}{3}$ * $(\frac{x}{y})^{\frac{2}{3}} - \lambda P_2] = 0$
6. $z[1 - \lambda P_3] = 0$
7. $W - P_1X - P_2Y - P_3Z \ge 0 $
8. $\lambda [W - P_1X - P_2Y - P_3Z] = 0$

Imponente $x, y, z > 0$ y la ley de Walras, sé que puedo igualar 1, 2, 3 y 7 a cero. Esencialmente termino con una ecuación que dice que en la relación óptima entre utilidad marginal y precio de cada bien es la misma.

Después de simplificar mediante la equiparación de $\lambda$ lo obtengo de la 1, 2..:

$\frac{x}{P_2} = \frac{2y}{P_1}$ .
Mi problema es que no puedo resolver para $z$ ya que no puedo obtener mi restricción presupuestaria en términos de una sola variable.

Answer 1

Para la parte (i), con todo el rigor, debe comprobar también los determinantes de todos los menores principales del hessiano de borde y asegurarse de que tienen signos alternos . Sin embargo, su conclusión final parece correcta.

Para la parte (ii), recuerde que la demanda walrasiana es la solución a la maximización de la utilidad sujeta a la restricción presupuestaria. Por lo tanto, debe establecer un Lagrangiano, derivar la Condiciones de Kuhn-Tucker y luego resolver para $x,y,z$ como funciones de los precios y los ingresos. Estas serán las demandas walrasianas.