La demanda del mercado es independiente de la distribución de la renta

Question

Si las preferencias son idénticas y homogéneas, demuestre que la demanda de mercado de cualquier bien debe ser independiente de la distribución de la renta.

Mi trabajo es el siguiente: $$q^{d}(p)=\sum_{i=1}^{n}f(p_x,p_{-x},I)$$

$$q^{d}(p)=f(p_{x},p_{-x})\sum_{i=1}^{n}I$$ Aquí, $x$ es el precio de ese bien concreto y $(-x)$ es el vector de precios del resto de los bienes excepto $x$ . La demanda del mercado viene dada por el sometimiento de todos los consumidores de $1$ a $n$ .
Pero, todavía estoy confundido de cómo esta función es separable multiplicativamente en el vector precio $P$ Alguien puede dar una prueba de ello. Gracias.

Answer 1

En este caso, considero que la homogeneidad de las preferencias significa que las preferencias son homotéticas; es decir, que las preferencias pueden representarse mediante una función de utilidad que es homogénea de grado uno.

Para un bien arbitrario $x$ y un vector de precios $\mathbf{p}$ y que la demanda individual sea $x_i(\mathbf{p}, M_i)$ para cada consumidor $i$ con ingresos $M_i$ . Así, la demanda del mercado es $D = \sum_{i} x_i(\mathbf{p},M_i)$ . Dado que las preferencias son idénticas,

$$\sum_{i} x_i(\mathbf{p},M_i) = \sum_{i} x(\mathbf{p},M_i).$$

Entonces, por homogeneidad,

$$\sum_{i} x(\mathbf{p},M_i) = \sum_{i} x(\mathbf{p},1) M_i = x(\mathbf{p},1) \sum_{i} M_i = x(\mathbf{p},1)M,$$

donde $\sum_i M_i = M$ es la renta agregada de los consumidores. Así, $D$ es independiente del distribución de la renta y es únicamente una función de la renta agregada de los consumidores, $M$ .