Definición del valor de continuación en Longstaff y Schwartz

Question

Estoy revisando el documento de Longstaff y Schwartz (2001) sobre la fijación de precios de las opciones americanas, y algo me ha confundido.

Allí, en la ecuación $(1)$ el valor de continuación en el momento $t_k$ , $F(\omega; t_k)$ se define como sigue $$F(\omega; t_k) = E_Q\left[ \sum_{j = k+1}^{K} \exp \left( - \int_{t_k}^{t_j} r(\omega, s ) \, ds \right) C(\omega, t_j ; t_k, T) \; \Bigg\vert \; \mathcal{F}_k \right].$$

Sin embargo, creo que debería reescribirse como $$F(\omega; t_k) = \sum_{j = k+1}^{K} D(t_k, t_j) \cdot E_Q\left[ C(\omega, t_j ; t_k, T) \; \Bigg\vert \; \mathcal{F}_k \right],$$ donde $D(t_k, t_j)$ son los diferentes factores de descuento a $t_k$ que son $\mathcal{F}_k$ -Medible. Mi idea no es diferente a la condición de martingala bajo la medida de probabilidad libre de riesgo $Q$ .

Así que mi pregunta es, ¿hay algo que se me escapa aquí?

Agradezco todos los comentarios o discusiones sobre el tema.

Editar

Lo que realmente quiero decir es que el precio de un derivado en el momento $t$ , elegido un numerario $\mathcal{N}$ dado por

$$\dfrac{V(t,T)}{\mathcal{N}(t,T)} = E_{Q} \Bigg[ \dfrac{V(T,T)}{\mathcal{N}(T,T)} \Bigg\vert \mathcal{F}_t \Bigg]$$

donde si $\mathcal{N}$ se elige un bono de cupón cero, entonces $\mathcal{N}(t,T) = D(t,T)$ y $\mathcal{N}(T,T) = 1$ .

---

Longstaff, Schwartz - Valoración de opciones americanas por simulación: Un enfoque simple de mínimos cuadrados (2001)

Answer 1

No he leído el artículo, pero diría que la fórmula del artículo parece más general. Tiene en cuenta la posibilidad de tipos de interés estocásticos. Si tenemos factores de descuento deterministas, entonces tu fórmula y la del documento coinciden.

Respuesta a tu edición: Lo sabemos con certeza, en el documento están utilizando el proceso de la cuenta del mercado monetario como numerario ya que también están utilizando la medida de la probabilidad neutral al riesgo $Q$ . El proceso de la cuenta del mercado monetario vale 1 en el momento inicial. Así que el denominador en el LHS de su fórmula en su edición, vale 1, lo que significa que la fórmula en el papel es correcta. El numerario no puede ser un bono de cupón cero si estamos utilizando la probabilidad neutra de riesgo $Q$ . Si eliges un bono de cupón cero como numerario, entonces tienes que cambiar la medida de probabilidad del riesgo neutral $Q$ a una medida de probabilidad equivalente $Q'$ (nótese que la probabilidad en el papel es $Q$ y no $Q'$ ).

Answer 2

Según la teoría general de los precios de no arbitraje, el precio en el momento $t_k$ de un pago $C$ que se paga en el momento $t_j\ge t_k$ es $$E_Q\left[\exp\left(-\int_{t_k}^{t_j}r(s)\,ds\right)C\,\Bigg|\,{\cal F}_{t_k}\right]\,.$$ Para $t\in[t_k,t_j]$ se puede utilizar una propiedad de expectativas condicionales iteradas para escribir esto como $$E_Q\left[E_Q\left[\exp\left(-\int_{t_k}^{t_j}r(s)\,ds\right)C\,\Bigg|\,{\cal F}_{t}\right]\Bigg|\,{\cal F}_{t_k}\right]\,.$$ Si $C$ se conocían en $t$ (una suposición que Longstaff-Schwartz hacen no hacer (corrígeme si me equivoco) podrías tirar $\exp(-\int_{t_k}^tr(s)\,ds)\,C$ de la expectativa interna y obtener una fórmula similar a la suya: $$E_Q\left[\exp\left(-\int_{t_k}^tr(s)\,ds\right)\,C\,\underbrace{E_Q\left[\exp\left(-\int_{t}^{t_j}r(s)\,ds\right)\,\Bigg|\,{\cal F}_{t}\right]}_{D(t,t_j)}\Bigg|\,{\cal F}_{t_k}\right]\,.$$