¿Cómo es $\phi_t = \Delta_t$ en el enfoque de martingala para la fijación de precios según Black-Scholes?

Question

En el enfoque de martingala para la fijación de precios de los derivados, mostramos que existe una estrategia de réplica $(\phi_t, \psi_t)$ que imita el pago derivado. Mi libro de texto continúa diciendo que incluso es posible saber cuál es exactamente el valor de $\phi_t$ es: es igual a $\Delta_t$ La derivada matemática del precio del derivado con respecto al precio del subyacente.

Me gustaría conocer la prueba y/o la intuición de esto, algo que mi libro de texto no proporciona.

Answer 1

Recordemos en primer lugar la forma en que Black y Scholes obtienen su famoso resultado:

Dejemos que $\mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t$ y $\pi(t,x)=-C(t,x)+\delta x$ tal que $\pi(t,S_t)$ es el tiempo $t$ precio de una cartera que es corta en una opción de compra de tipo europeo y es larga $\delta$ unidades de la acción. Aquí, $\delta\in\mathbb{R}$ es una constante real y no la sensibilidad del precio de la opción. Dado que la cartera se autofinancia,

$$\begin{align*} \mathrm{d}\pi(t,S_t) &=-\mathrm{d}C(t,S_t)+\delta \mathrm{d}S_t \\ &=-\mathrm{d}C(t,S_t)+\delta rS_t\mathrm{d}t + \delta \sigma S_t\mathrm{d}W_t. \end{align*}$$

Además, por el Lemma de Ito,

$$\mathrm{d}C(t,S_t)=\left(\frac{\partial C}{\partial t}(t,S_t)+rS_t\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t)+\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(t,S_t)\right)\mathrm{d}t+\left(\sigma S_t\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t) \right)\mathrm{d}W_t.$$

Recordemos que $\delta$ es cualquier constante real arbitraria. Si ahora se establece $\delta=\frac{\partial C}{\partial x}(t,S_t)=\Delta_t$ (es decir, el delta de su opción), entonces, el movimiento browniano se cancela y se obtiene (por no-arbitraje)

$$\begin{align*} \mathrm{d}\pi(t,S_t) &= \left(-\frac{\partial C}{\partial t}(t,S_t)-\frac{1}{2}\sigma^2S_t^2\frac{\partial^2 C}{\partial x^2}(t,S_t)\right)\mathrm{d}t \\ &= r\pi(t,S_t)\mathrm{d}t \\ &= r\left(-C(t,S_t)+\frac{\partial C}{\partial x}S_t\right)\mathrm{d}t. \end{align*}$$ Así, por supuesto, se llega a la famosa EDP de Black Scholes.

Sin embargo, esta derivación demuestra que la opción de compra puede cubrirse sin riesgo y, por lo tanto, se puede replicar su resultado invirtiendo en la acción y el bono. Como $\Delta$ le da la sensibilidad para los cambios en el precio de las acciones, no es sorprendente que $\Delta_t$ te dice cuánto tienes que invertir en la acción.

Alternativamente, recuerde que $$C(t,S_t) = S_te^{-q(T-t)}\Pi_1-Ke^{-r(T-t)}\Pi_2.$$ Este es el precio de una opción de compra y $\Pi_1$ y $\Pi_2$ son algunas probabilidades. Esta fórmula es bastante general y sirve para muchos más modelos que el modelo Black-Scholes. Los términos $\Pi_1$ y $\Pi_2$ de nuevo te dicen cuánto necesitas invertir en la acción y el bono para cubrir la opción de compra y de nuevo, $e^{-q(T-t)}\Pi_1$ es su Delta, que le indica cuánto debe invertir en la acción.