Existencia de un elemento máximo en un conjunto de elección compacto

Question

Tengo un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ , $X$ . Un agente tiene una relación de preferencia continua, transitiva y completa $\succsim$ en $X$ . Me pregunto si existe una $y\in X$ tal que $y\succsim x$ para todos $x\in X$ . Hasta ahora tengo lo siguiente:

Si $X$ simplemente se cerrara, entonces la respuesta sería no. Esto se debe a que podríamos definir la relación de preferencia: $x\succsim y$ si $x\geq y$ en $\mathbb{R}$ (que es un conjunto cerrado). Es evidente que no hay ningún elemento máximo.

Pero no estoy seguro del caso en el que $X$ es compacto.

Gracias

Answer 1

Sí, la compacidad es suficiente y no es necesario limitarse a subconjuntos de $\mathbb{R}$ .

La prueba es por contradicción. Supongamos que $\succeq$ no tiene ningún elemento mayor. Consideremos los conjuntos: $$ V_x = \{y \in X| x \succ y\} $$ Se trata de conjuntos abiertos como $\succeq$ es continua. Si $(V_x)_{x \in X}$ no cubra $X$ entonces hay un $y$ que no es un conjunto $V_x$ para todos $x$ . Esto significa que para todos los $x \in X$ , $x \not \succ y$ Así que $y \succeq x$ para todos $x$ lo que significa que $y$ es el mayor elemento una contradicción.

De ello se deduce que $(V_x)_{x \in X}$ es una cubierta abierta de $X$ . Por compacidad, tiene una subcubierta finita, digamos $V_{x_1},\ldots, V_{x_n}$ . Por completitud y transitividad, podemos encontrar $x_i \in \{x_1, \ldots, x_n\}$ tal que $x_i \succeq x_j$ para todos $j \in \{1,\ldots, n\}$ .

Ahora, para cualquier $y \in X$ o bien $y = x_j$ para algunos $j$ lo que significa $x_i \succeq y = x_j$ o $y \in V_{x_j}$ para algunos $j$ lo que significa que: $$ x_i \succeq x_j \succ y. $$ Así que $x_i$ es un elemento mayor, lo que da la contradicción deseada.