equivalente de certeza y loterías

Question

Supongamos que un agente tiene $u(z)=-e^{-bz}$ donde $b>0$ como su función de utilidad Bernoulli y se enfrenta a dos apuestas:
G1: ganar 1000 dólares con probabilidad $\frac{1}{2}$ y cero con probabilidad $\frac{1}{2}$ y su equivalente en certeza es de 488 dólares
G2: ganar 1500 dólares con probabilidad $\frac{1}{2}$ y 500 con probabilidad $\frac{1}{2}$
La pregunta es: ¿qué podemos decir sobre su equivalente de certeza para la apuesta2?
¿Cómo puedo abordar este problema?

Answer 1

Supongamos que tiene unos ingresos de $z$ y reciba un $x_i$ con probabilidad $\pi_i$ . Entonces el equivalente de certeza $c_1$ es la implicidad definida por: $$ \sum_i \pi_i u(z+x_i) = u(z+c) $$ Si utilizamos la función de utilidad CARA esto da: $$ \begin{align*} &\sum_i \pi_i (-\exp(-b(z + x_i))) = (-\exp(-b (z + c_1))\\ \leftrightarrow &\sum_i \pi_i \exp(-b(z + x_i)) = \exp(-b (z + c_1) \tag{1} \end{align*} $$ Ahora considere una lotería donde en cada estado $i$ recibe una cantidad adicional $g$ entonces el equivalente de certeza $c_2$ está dada por: $$ \begin{align*} &\sum_i \pi_i (-\exp(-b(z + g+ x_i))) = (-\exp(-b (z + c_2)),\\ \leftrightarrow &\sum_i \pi_i \exp(-b(z + g+ x_i)) = \exp(-b (z + c_2) \end{align*} $$ Utilizando las propiedades de la exponencial y usando $(1)$ podemos reescribir esto como: $$ \begin{align*} &\exp(-bg) \sum_i \pi_i \exp(-b(z +x_i)) = \exp(-b (z + c_2),\\ \leftrightarrow &\exp(-bg) \exp(-b(z + c_1) = \exp(-b(z + c_2)),\\ \leftrightarrow & \exp(-b(g + z + c_1 - z - c_2) = 1,\\ \leftrightarrow & \exp(-b(g + c_1 - c_2) = 1,\\ \to & c_1 + g = c_2. \end{align*} $$

Esto demuestra que si la media de una lotería aumenta en una cantidad $g$ (añadiendo a cada estado la misma cantidad) entonces la equivalencia de certeza aumenta en la misma cantidad.