Pasar de $\mathcal{P}$ a $\mathcal{Q}$

Question

En $\mathcal{P}$ tenemos el Modelo Heston dado por:

$$ d S_{t}=\mu S_{t} d t+\sqrt{\nu_{t}} S_{t} d W_{t}^{S},\\ d \nu_{t}=\kappa\left(\theta-\nu_{t}\right) d t+\xi \sqrt{\nu_{t}} d W_{t}^{\nu}. $$

Supongamos que he estimado estos parámetros apperando en el modelo de Heston $\underline{\text{using only stock returns}}$ con MCMC.

Mi pregunta es: ¿cómo puedo valorar las opciones vainilla bajo una medida de riesgo neutral $\mathcal{Q}$ ¿ahora? Dado que estos parámetros se estiman bajo las acciones $\mathcal{P}$ -dinámica, ¿son estos parámetros inútiles para la fijación de precios de las opciones?

Sé que existen métodos de fijación de precios por transformada de Fourier. Pero, ¿puedo utilizar los métodos de fijación de precios de la transformada de Fourier con estos parámetros estimados?

Answer 1

Como ha dicho, ha estimado el $\mathcal{P}$ pero para la fijación de precios de las opciones, se necesita el $\mathcal{Q}$ parámetros. Pero existe una transformación.

En $\mathcal{P}$ , Heston (1993) asume \begin{align*} \mathrm{d}S_t &= \mu S_t\mathrm{d}t + \sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{P}, \\ \mathrm{d}v_t &= \kappa(\theta-v_t)\mathrm{d}t + \xi\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{P}, \end{align*} donde $\mathbb{E}^\mathcal{P}[\mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{P}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{P}]=\rho\mathrm{d}t$ .

Estos parámetros incluyen el precio de mercado del riesgo, que es igual a cero en el mundo neutral al riesgo. Supongamos que $\lambda(S_t,v_t,t)=\frac{\lambda}{\xi}\sqrt{v_t}$ . La aplicación de la bidimensionalidad Teorema de Girsanov , \begin{align*} \frac{\mathrm{d}\mathcal{Q}}{\mathrm{d}\mathcal{P}}\bigg|_{\mathcal{F}_t} =\exp\left(-\int_0^t\frac{\mu-r}{\sqrt{v_s}}\mathrm{d}W_{1,s}^\mathcal{P}-\int_0^t\frac{\lambda}{\xi}\sqrt{v_s}\mathrm{d}W_{2,s}^\mathcal{P}-\frac{1}{2}\int_0^t\frac{(\mu-r)^2}{v_s}+\frac{\lambda^2}{\xi^2}v_s\mathrm{d}s\right). \end{align*} Esto corresponde a \begin{align*} \mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{Q} &= \mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{P}+\frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}}\mathrm{d}t \\ \mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{Q} &= \mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{P}+\frac{\lambda}{\xi}\sqrt{v_t}\mathrm{d}t \\ \end{align*} Ahora, de forma similar a Black-Scholes, aplicando el Lemma de Ito a $f(x)=\ln(x)$ obtenemos bajo $\mathcal{Q}$ \begin{align*} \mathrm{d}\ln(S_t) &= \left(r-\frac{1}{2}v_t\right)\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{Q}, \\ \mathrm{d}v_t &= \kappa^\mathcal{Q}(\theta^\mathcal{Q}-v_t)\mathrm{d}t + \xi\sqrt{v_t}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{Q}, \end{align*} donde $\mathbb{E}^\mathcal{Q}[\mathrm{d}W_{1,t}^\mathcal{Q}\mathrm{d}W_{2,t}^\mathcal{Q}]=\rho\mathrm{d}t$ y $\kappa^\mathcal{Q}=\kappa+\lambda$ y $\theta^\mathcal{Q}=\frac{\kappa\theta}{\kappa+\lambda}$ .

Así pues, la buena noticia es que se puede convertir el proceso (y sus parámetros) del mundo real en el mundo neutral del riesgo. También es bueno que el vol de vol y el coeficiente de correlación no se alteren en absoluto. La mala noticia es que la velocidad de reversión de la media y la media a largo plazo dependen del precio de mercado del riesgo de volatilidad, lo que requiere una mayor estimación.