Fórmula analítica de la cópula para $max(S_T^1 - K, 0) 1_{\{L<S_T^2<U\}}$

Question

Considere la función de recompensa $$ V_T = max(S_T^1 - K, 0) 1_{\{L<S_T^2<U\}} = (S_T^1 - K)1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}}$$

donde $S_T^1$ y $S_T^2$ son dos valores distribuidos por GBM con correlación, $\rho$ . ¿Cómo encontrarías $V_t$ sin utilizar la simulación MC (pista: utilizar una cópula gaussiana)?

Mi intento: $$V_t = e^{-r(T-t)}E[(S_T^1 - K)1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}}]$$ $$V_t = e^{-r(T-t)}\int_{L}^{U}\int_{K}^{\infty}(x-K)f_{x,y}(x,y)dxdy$$

donde $f_{x,y}$ es el pdf conjunto procedente de la cópula guasiana. ¿Cómo puedo ir más allá ahora? Si no puedo, ¿cómo implementaría la integral doble en un ordenador?

Answer 1

Para simplificar, suponemos que $r = 0$ . $$V_t = E^Q((S_T^1 - K)1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}}) = E^Q(S_T^11_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}}) - KE^Q(1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}})$$ Para el segundo término: $$E^Q(1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}})=P(\{S_T^1 > K\}\cap \{ L<S_T^2<U \}) =P(\{(W_T^1-W_t^1) > d_1 \}\cap \{ d_2<(W_T^2-W_t^2))<d_3 \}) $$ con $$d_1 = \frac{\ln (K/S_t^1)+(1/2\sigma^1)(T-t))}{\sigma^1}$$ $$d_2 = \frac{\ln (L/S_t^2)+(1/2\sigma^2)(T-t))}{\sigma^1}$$ $$d_3 = \frac{\ln (U/S_t^2)+(1/2\sigma^2)(T-t))}{\sigma^1}$$ Porque $(W_T^1-W_t^1,W_T^2-W_t^2)$ sigue la distribución gaussiana bidimensional, se puede obtener fácilmente la fórmula analítica para $E^Q(1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}})$ .

Ahora, para el primer término $E^Q(S_T^11_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}})$ cambiamos la medida a la $S_t^1$ como numéraire. $$E^Q(S_T^1 1_{\{S_T^1 > K\}}1_{\{L<S_T^2<U\}}) = S_t^1 E^{Q_{S^1}}(1_{\{S_T^{1} > K\}}1_{\{L<S_T^{2}<U\}})$$ En la nueva medida, tenemos $$dW_t^{1'} = dW_t^1 -\sigma^1dt$$ $$dW_t^{2'} = dW_t^2 -\sigma^1\rho dt$$ con $$\frac{dS_t^1}{S_t^1} = \sigma^1 dW_t^1 = \sigma^1 (dW_t^{1'} + \sigma^1dt)$$ $$\frac{dS_t^2}{S_t^2} = \sigma^2 dW_t^2 = \sigma^2 (dW_t^{2'} + \sigma^2 \rho dt)$$ Por el mismo argumento que hicimos con el primer término, obtenemos la fórmula analítica para $E^{Q_{S^1}}(1_{\{S_T^{1} > K\}}1_{\{L<S_T^{2}<U\}})$ .