Comprobar la concavidad, cuasi-concavidad con un valor dado de la función

Question

Estoy estudiando para un próximo examen de microeconomía y siempre he tenido problemas para demostrar la concavidad, la convexidad en diferentes ejercicios. Este no puedo resolverlo por mi vida. Es un poco difícil encontrar el punto exacto con el que lucho, porque estoy bastante confundido en este en general.

Nos dan conjuntos de puntos para los que el valor de la función es f(x) = 1, 2, 4.

A continuación, se nos pregunta si estas curvas son consistentes o inconsistentes con que la función sea cóncava o cuasi-cóncava.

Nos dan consejos:

1. Escribe la definición de concavidad:

$f: D -> \mathbb R$ es cóncavo si para todo $ x, x' \in D, t \in (0,1):$

$f(tx + (1-t)x') \geq tf(x) + (1-t)f(x')$

2. Selecciona dos puntos en el dominio (1,3) y escribe la combinación convexa para los puntos.

???

3. Evaluar el valor de la función.

4. Evaluar el valor de la combinación convexa para cada uno de los puntos de esta función.

5. Utiliza la definición para mostrar dónde la función es cóncava y/o cuasi-cóncava

Lo que me desconcierta aquí es que no se da ninguna función real, sino sólo valores para la función. Si tuviera una función, digamos $f(x,y) = x^\beta y^{1-\beta}$ Podría elegir un punto y comprobar con una cierta t la definición de concavidad, ¿no?

Espero que esto no caiga en la cláusula de no trabajo en casa. No tengo que entregar esto, sólo estoy perdido :)

Answer 1

En primer lugar, observa la forma de las curvas de indiferencia. (Asumo que $f$ es una función de utilidad aquí). Los conjuntos mejores son convexos, por lo que esto es consistente con la cuasi-concavidad de la función $f$ .

En segundo lugar, consideremos la combinación convexa $(2,2)=\frac{1}{2}(1,1)+\frac{1}{2}(3,3)$ . Usted tiene $f(2,2)=2$ pero $\frac{1}{2}f(1,1)+\frac{1}{2}f(3,3)=\frac{1}{2}1+\frac{1}{2}4=2.5>2$ lo cual es inconsistente con que la función sea cóncava.