Hay un ejercicio que no puedo entender. De hecho, tengo la solución al problema, pero sigo sin entenderlo del todo.
Sea una economía compuesta por dos consumidores $A$ y $B$ y dos bienes $X$ y $Y$ , de tal manera que $Y$ se produce utilizando $X$ con función de producción $Y = \sqrt{5X}$ . Suponemos que $A$ y $B$ tienen una función de utilidad idéntica $U(X,Y) = XY$ . La dotación inicial de la economía es $X = 1$ y $Y=0$ Encuentre el Pareto-óptimo de esta economía, y expréselo en función de $X_A$ la cantidad de producto $X$ asignado al consumidor $A$ .
Así que lo que hice para encontrar esos óptimos es poner $MRS_{XY}^A = MRS_{XY}^B$ con restricciones $X_A + X_B \leq 1$ y $Y_A + Y_B = \sqrt{5(1 - X_A - X_B)}$ . Pero me parece que tengo pocas ecuaciones para resolver realmente el problema. Lo que encuentro es que, poniendo $X = 1- X_A - X_B$ : \begin{align*} Y_A = \frac{\sqrt{5X}}{1 - X} \cdot X_A \end{align*} pero parece que no puedo ir más allá... En la solución, se lee: \begin{align*} \frac{Y_A}{X_A} = \frac{Y_B}{X_B} (=\frac{Y_A + Y_B}{X_A + X_B}) = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{X}} \end{align*} sin explicar cómo se deriva la última igualdad.
