Estoy investigando algunas finanzas matemáticas y me he topado con algo en lo que parece que no puedo encontrar fuentes. Probablemente se me esté pasando algo por alto, pero espero que alguien pueda iluminarme y darme algunas fuentes a las que pueda echar un vistazo. En Björk 2020 en la página 95 se dice que el un activo libre de riesgo con proceso de precios $B$ tiene la siguiente expresión: $$B_{t} = B_{0} \exp\left(\int_{0}^{t} r_{s} ds\right).$$ Puede alguien explicarme por qué es así o enlazar a alguna fuente donde se explique por qué se da así. Gracias por adelantado.
Respuesta
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Si $ \delta > 0 $ es muy pequeño, entonces el interés incurrido durante el subperíodo pequeño $[t, t + \delta]$ puede aproximarse utilizando la fórmula del interés simple. Más concretamente, los intereses devengados en $[t, t + \delta]$ es:
$$ B(t + \delta) - B(t) = B(t) r(t) \delta + o(\delta^2) $$
donde $ B(t) r(t) \delta $ es el interés que se produciría si utilizáramos el interés simple.
Dividiendo por $\delta$ tenemos
$$ \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) + o(\delta) $$
Tomar el límite $ \delta \to 0 $ tenemos
$$ B'(t) = \lim_{\delta \to 0} \frac{B(t + \delta) - B(t)}{\delta} = B(t)r(t) $$
La solución de la ecuación diferencial $ B'(t) = B(t)r(t) $ con la condición inicial $ B(0) = B_0 $ es
$$ B(t) = B_0 \exp\left( \int_0^t r(s) ds \right) $$
