Prima Esscher: Prueba de la transformada integral

Question

Tengo algunas dificultades para entender la siguiente prueba y espero que alguien pueda ayudarme con ello.

Reclamación: Quiero demostrar que

$E_\alpha(S)=\frac{d}{dr} \log M_S(r)|_{r=\alpha} $ , donde $M_S(r)=E(\exp(rS))$ es la función generadora de momentos de $S\sim F$ y $E_\alpha(S)=\int_{\mathbb{R}} s dF_\alpha(s)$ con $F_\alpha(s):=\frac{1}{M_S(\alpha)}\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} dF(x)$ .

Prueba La prueba es la siguiente: $E_{\alpha}(S)=\int_{\mathbb{R}} s dF_\alpha(s)=^{(*)}\frac{1}{M_S(\alpha)}\int_{\mathbb{R}}s e^{\alpha s} dF(s)=\frac{M_S'(\alpha)}{M_S(\alpha)}=\frac{d}{dr} \log(M_S(r))|_{r=\alpha}$ .

Lo que no entiendo es la segunda igualdad $(*)$ . ¿Por qué y cómo puede esta transformación de $dF_\alpha(s)$ a $dF(s)$ ¿se hace así?

Agradezco cualquier sugerencia. :-) ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Bien, he tratado de encontrar una solución. Sabemos que $\int x \: dF(x)$ es una generalización de $\int x f(x) \: dx$ , ya que:

$$\frac{dF(x)}{dx}=f(x) \iff dF(x)=f(x)\: dx$$ para $f$ siendo el pdf y $F$ la FCD. Utilizando este resultado en $F_{\alpha}(s)$ obtenemos:

\begin{align} \frac{dF_{\alpha}(s)}{ds}&= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \frac{d}{ds}\left(\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} dF(x)\right)\\ &=\frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \frac{d}{ds}\left(\int_{-\infty}^s e^{\alpha x} f(x) \: dx\right)\\ &=\frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot e^{\alpha s} \cdot f(s),\\ \end{align} donde he utilizado el primer teorema fundamental del cálculo para integrales de Lebesgue (el teorema de diferenciación de Lebesgue) en la última ecuación (como se indica en un comentario más abajo). Por lo tanto, observamos que: $$dF_{\alpha}(s) = \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \cdot \left( e^{\alpha s} \cdot f(s) \cdot ds \right).$$ Ahora, insertando esto en la integral especificada en su prueba anterior, obtenemos: \begin{align} \int_{\mathbb{R}} s \: dF_{\alpha}(s) &= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \int_{\mathbb{R}} s \cdot e^{\alpha s} \cdot f(s) ds\\ &= \frac{1}{M_{S}(\alpha)} \int_{\mathbb{R}} s \cdot e^{\alpha s}\: dF(s) \end{align} Dándole la segunda igualdad.