Solución contradictoria de FOC y maximización

Question

Tengo que maximizar la siguiente función -

$\max_{x \in (0,1)} (((p_1x)^{2r} + (p_2(1-x))^{2r})/2)^{1/r}$

donde, $p_1$ y $p_2$ se extraen de una distribución uniforme [0,1] y se consideran dados para este problema de maximización.

FOC se dan como - $\frac x {1-x}$ = ${(p_2/p_1) }^{2r/{2r-1}}$

Mi problema es

Siempre que $p_1$ > $p_2$ , FOC argumenta que el valor de x debe ser < 1/2 pero esto no maximiza la función. Más bien la solución debería ser x>1/2. ¿Por qué la solución FOC no maximiza la función objetivo? ¿Qué he hecho mal?

Answer 1

Como alude Bertrand en sus comentarios +1, esto se debe a que los BDC no te diga dónde se produce el máximo o el mínimo. Este es un error común entre algunos estudiantes, pero simplemente no es cierto.

Los BDCs le dan la localización de estacionario puntos. Te dan puntos donde $df(x,y)/dx = df(x,y)/dy= 0$ .

Se producirá un máximo o un mínimo en los puntos en los que $df(x,y)/dx = df(x,y)/dy= 0$ pero también lo serán los puntos de montura. FOC no puede distinguir si el punto es máximo, mínimo o punto de silla de montar, sólo puede decir que usted encontró puntos en los que la pendiente es cero.

Es más, una función puede tener múltiples máximos/minimos locales y puntos de silla. En la optimización, por lo general, querrá encontrar el global máximo y no sólo un máximo local. Esto se puede ver en la siguiente figura tomada de EMEA por Sydsæter, Hammond & StrØm.

Si quieres saber si el punto es máximo o mínimo necesitas examinar las condiciones de segundo orden (SOCs) que te dicen si la función es cóncava o convexa (o a algunos les gusta llamarlo cóncavo hacia abajo) entonces basado en la concavidad de la función puedes inferir si es un máximo local, mínimo o punto de silla. Para la optimización no restringida (por ejemplo, los SOC lagrangianos son diferentes) los SOC multivariables vienen dados por:

Una función será cóncava (lo que implica local máximo) si las condiciones de $C^2$ función en $\mathbb{R}^2$ están satisfechos:

$$f_{11}''(x, y) \leq 0, f_{22}''(x, y) \leq 0, \text{ and } f_{11}''(x, y)f_{22}''(x, y) − (f_{12}''(x, y))^2 \geq 0$$

Una función será convexa (lo que implica local máximo) si las condiciones de $C^2$ función en $\mathbb{R}^2$ están satisfechos:

$$f_{11}''(x, y) \geq 0, f_{22}''(x, y) \geq 0, \text{ and } f_{11}''(x, y)f_{22}''(x, y) − (f_{12}''(x, y))^2 \geq 0$$

Sin embargo, las condiciones anteriores sólo le dirá si ha encontrado local mínimo o máximo . Para encontrar el máximo/mínimo global, tiene que examinar todos los máximos o mínimos así como los límites de su función (por ejemplo, el máximo podría ocurrir en algunos puntos finales, por ejemplo $y=x+10$ definido en el intervalo $x\in[0,10]$ tendrá el máximo en el límite superior $x=10$ incluso si FOC no encuentra ningún punto estacionario en $X=10$ ) y comprobar cuál de sus valores de salida es el más alto o el más bajo (aunque la mayoría de los problemas introductorios suelen estar planteados de manera que sólo hay un máximo o un mínimo - es probable que esta sea la razón por la que algunos estudiantes confunden los FOCs como condiciones para el máximo o el mínimo en lugar de sólo condiciones para los puntos estacionarios).