Esta es mi suposición:
Partimos de la siguiente ecuación: $$ \pi_t = \frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\left[\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho + (1-\lambda)\right]^{(\sigma-\rho)/\rho}\left(\frac{h_{ut}}{h_{st}}\right)^{(1-\sigma)}\left(\frac{\psi_{st}}{\psi_{ut}}\right)^\sigma $$
Tomar los registros da: $$ \ln(\pi_t) = \ln\left(\frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\right) + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\ln\left[\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho + (1-\lambda)\right] + (1-\sigma)\ln h_{ut} - (1-\sigma) \ln h_{st} + \sigma\ln \psi_{st} - \sigma \ln \psi_{ut} $$
Tome la aproximación $\ln(1 + x ) \approx x$ para simplificar el segundo término a: $$ \frac{\sigma - \rho}{\rho} \left[-\lambda + \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho\right] = -\lambda \frac{\sigma - \rho}{\rho} + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho $$ Esto da: $$ \ln(\pi_t) = \ln\left(\frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\right) - \lambda \frac{\sigma - \rho}{\rho} + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho\\ + (1-\sigma)\ln h_{ut} - (1-\sigma) \ln h_{st} + \sigma\ln \psi_{st} - \sigma \ln \psi_{ut} $$
Ahora diferenciando con respecto al tiempo da en el lado izquierdo $g_{\pi_t}$ . Los dos primeros términos del lado derecho desaparecen. Para el tercer término obtenemos: $$ \begin{align*} &\frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \rho \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^{\rho - 1} \frac{\dot k_t s_t - k_t \dot s_t}{(s_t)^2},\\ &= \frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho \frac{s_t}{k_t} \frac{\dot k_t - k_t g_{s_t}}{s_t},\\ &= \frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho (g_{k_t} - g_{s_t}) \end{align*} $$ Creo que $g_{s_t} = g_{h_{st}} + g_{\psi_{st}}$ . Los otros términos dan: $$ (1-\sigma) (g_{h_{ut}} - g_{h_{st}}) + \sigma (g_{\psi_{st}} - g_{\psi_{ut}}) $$
