Ayuda a entender una Log-linealización y posterior Diferenciación con respecto al tiempo

Question

Estaba leyendo el siguiente documento: https://www.jstor.org/stable/2999442?seq=1#metadata_info_tab_contents

En un momento dado hay un par de pasajes sencillos que, sin embargo, no entendí del todo.

En particular, no puedo entender cómo una parte del primer término de (3) desapareció en la linealización logarítmica. Y también cómo aparecen los tres términos en la diferenciación con respecto al tiempo (4).

¿Puede alguien ayudarme a entender los pasos? Ofrezco una cerveza virtual, puntos y mucho agradecimiento. Gracias.

Answer 1

Esta es mi suposición:

Partimos de la siguiente ecuación: $$\pi_t = \frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\left[\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho + (1-\lambda)\right]^{(\sigma-\rho)/\rho}\left(\frac{h_{ut}}{h_{st}}\right)^{(1-\sigma)}\left(\frac{\psi_{st}}{\psi_{ut}}\right)^\sigma$$

Tomar los registros da: $$\ln(\pi_t) = \ln\left(\frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\right) + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\ln\left[\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho + (1-\lambda)\right] + (1-\sigma)\ln h_{ut} - (1-\sigma) \ln h_{st} + \sigma\ln \psi_{st} - \sigma \ln \psi_{ut}$$

Tome la aproximación $\ln(1 + x ) \approx x$ para simplificar el segundo término a: $$\frac{\sigma - \rho}{\rho} \left[-\lambda + \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho\right] = -\lambda \frac{\sigma - \rho}{\rho} + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho$$ Esto da: $$\ln(\pi_t) = \ln\left(\frac{(1-\mu)(1-\lambda)}{\mu}\right) - \lambda \frac{\sigma - \rho}{\rho} + \frac{\sigma - \rho}{\rho}\lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho\\ + (1-\sigma)\ln h_{ut} - (1-\sigma) \ln h_{st} + \sigma\ln \psi_{st} - \sigma \ln \psi_{ut}$$

Ahora diferenciando con respecto al tiempo da en el lado izquierdo $g_{\pi_t}$ . Los dos primeros términos del lado derecho desaparecen. Para el tercer término obtenemos: $$\begin{align*} &\frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \rho \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^{\rho - 1} \frac{\dot k_t s_t - k_t \dot s_t}{(s_t)^2},\\ &= \frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho \frac{s_t}{k_t} \frac{\dot k_t - k_t g_{s_t}}{s_t},\\ &= \frac{\sigma - \rho}{\rho} \lambda \left(\frac{k_{et}}{s_t}\right)^\rho (g_{k_t} - g_{s_t}) \end{align*}$$ Creo que $g_{s_t} = g_{h_{st}} + g_{\psi_{st}}$ . Los otros términos dan: $$(1-\sigma) (g_{h_{ut}} - g_{h_{st}}) + \sigma (g_{\psi_{st}} - g_{\psi_{ut}})$$