Un vendedor posee una sola unidad de un bien invisible. Su valor es $v(s)$ a un comprador, donde $s R^+$ es la calidad del bien. La función $v(·)$ es estrictamente creciente y estrictamente cóncavo con $v(0) = 0$ . La calidad la elige el vendedor, y el coste de proporcionar un bien de calidad $s$ viene dada por una función $c(s)$ que es estrictamente creciente y estrictamente convexo con $c(0) = c '(0) = 0$ y $c'(0) < v'(0)$ . (Esta descripción lleva implícita la suposición de que las preferencias del comprador son cuasilineales es algún bien distinto del que se comercia).
Hay muchas partes en esta cuestión, pero lo que más me preocupa es el escalón. Que pide escribir las condiciones de primer orden para encontrar la calidad óptima de pareto que maximiza la suma de las utilidades y confirmar que es positiva.
Estoy pensando que las funciones de utilidad son las siguientes:
$u_B(x,s)=x+v(s)$
Dónde $x$ son los dólares que se gastan en algo más que el bien que se comercia (como el teorema de la mercancía compuesta)
$u_S(s)=v(s)-c(s)$
¿La utilidad del vendedor sería simplemente el valor por el que puede vender el bien menos su coste?
Así, $max_s(u_B+u_S)=v'(s)+v'(s)-c'(s)=0$
El resultado es la siguiente ecuación:
$2v'(s)=c'(s)$
Lo cual no tiene sentido por los supuestos de las primeras derivadas en el enunciado del problema. Así que no estoy muy seguro de lo que estoy haciendo mal. Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias de antemano.
