Cartera de la suma de dos procesos de Bachelier

Question

Suponga que construye una cartera de dos acciones, cuyos valores $A$ y $B$ se modelan como un proceso de Bachelier: $$dA = \sigma_A dW_A(t) \text{ and } dB = \sigma_B d W_B(t).$$ Cada uno de los precios de las acciones se rige por un movimiento browniano diferente con correlación $\rho$ . El valor de la cartera es $P = A + B$ . Quiero modelar esta cartera; así que empecé así: $$dP =dA + dB = \sigma_A dW_A(t) + \sigma_B d W_B(t),$$ Sin embargo, me parece que se puede incluir la correlación de alguna manera, pero no sé cómo. ¿Alguna idea?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $dW_A$ y $dW_B$ ya están correlacionadas según la forma en que la construyes, tu cartera al ser la suma de las dos ya está correlacionada.

Si lo quieres muy explícito, entonces podrías reescribir $dW_B = \rho dW_A + \sqrt{1-\rho^2}dW_Z$ donde $dW_Z$ es independiente de $dW_A$ . De forma más general (dimensiones más altas) se puede utilizar Cholesky.

Ahora con esta descomposición la dinámica de tu cartera es: $dP = \sigma_A dW_A + \sigma_B(\rho dW_A + \sqrt{1-\rho^2}dW_Z)$