Supongamos que el precio al contado de la mercancía sigue el proceso estocástico (véase Artículo de Schwartz página 926) $$ dS = \kappa(\mu-\log S)Sdt+\sigma SdW, $$ donde $\kappa >0$ mide el grado de reversión media y $dW$ es el incremento de un movimiento browniano. Aplicando el lema de Ito a $X = \log S$ obtenemos $$ dX = \kappa(\alpha-X)dt+\sigma dW, \quad \text{ with } \alpha = \mu-\frac{\sigma^2}{2\kappa}. $$ Podemos obtener un modelo libre de arbitraje aplicando el teorema de Girsanov para encontrar una medida neutral al riesgo equivalente a la medida original. Sea $dW^* = dW + \nu dt$ para una constante $\nu$ entonces \begin{align} dX &= \kappa(\alpha-X)dt+\sigma (dW^* - \nu dt) \\ &= \kappa\Big(\alpha-\frac{\sigma\nu}{\kappa}-X\Big)dt+\sigma dW^* \\ &= \kappa(\alpha^*-X)dt+\sigma dW^* \tag1, \end{align} donde $\alpha^* = \alpha - \lambda$ y $$\tag2 \lambda = \frac{\sigma\nu}{\kappa} $$ es el precio de mercado del riesgo. Escribí la ecuación de esta manera para que (1) tenga la misma forma que (4) en el artículo. Lamentablemente, en el artículo de Schwartz no hay ninguna fórmula para $\lambda$ Así que no puedo verificar que (2) sea realmente la fórmula del precio de mercado del riesgo en el modelo de Schwartz. Sin embargo, la ecuación (4) en el artículo está vinculada con una nota a pie de página que dice "Véase, por ejemplo, Bjerksund y Ekern (1995)", un avance de este artículo se puede encontrar aquí donde vemos que la ecuación (12.16) coincide con (1), y (12.17) coincide con (2) (en (12.17) hay $\lambda$ en lugar de $\nu$ ).
Sin embargo, en muchos artículos y libros, por ejemplo Stochastic Calculus for Finance de Shreve, el precio de mercado del riesgo se define como $$\tag3 \frac{\mu-r}{\sigma}. $$ ¿Cambia la fórmula del precio de mercado del riesgo según los distintos modelos? O tal vez he cometido un error en la derivación anterior de $\lambda$ en el modelo de Schwartz?
