Violación de la monotonicidad de las preferencias

Question

Hola estoy leyendo Jehle y Reny en mi curso de maestría y me he encontrado con un problema en uno de los ejercicios. La propia instructora se quedó un poco confusa cuando un alumno le dio un contraejemplo y luego dijo que el ejemplo ilustra que nuestra lógica es defectuosa. Quiero conciliar el ejemplo y la lógica matemática. Aquí está la pregunta con las soluciones discutidas.

Q1.24 Sea u( $\textbf x$ ) representan las preferencias monótonas de un consumidor sobre $\textbf x \mathbb{R}^n_+$ . Para cada una de las funciones $f (x)$ que siguen, indique si f también representa las preferencias de este consumidor. En cada caso, asegúrese de justificar su respuesta con un argumento o un contraejemplo.

Parte (c) $f (x) = u(\textbf x) +\Sigma_{i=1}^{n} x_i$

Ahora creo que esta función es una transformación monótona de $u(\textbf x)$ y por lo tanto es una representación de las preferencias "monotónicas" inherentes. Proporciono dos pruebas que afirman este hecho y un contraejemplo que está creando dificultades de comprensión

Prueba 1: (Prueba de la OP)

Dejemos que $\textbf x^1 \ge \textbf x^2.$ (1)

Claramente, $\textbf x^1 \succsim \textbf x^2 $ (Dado que las preferencias son monótonas) (2)

$\because \textbf x^1 \ge \textbf x^2 \implies \Sigma_{i=1}^{n} x_i^1 \ge \Sigma_{i=1}^{n}x_i^2$ ...(3)

$\therefore u(\textbf x^1)\ge u(\textbf x^2)$ (por (2))....(4)

$\therefore f(\textbf x^1)\ge f(\textbf x^2)$ (por 3 y 4)

Prueba (2): Manual de soluciones del libro

Un contraejemplo: $u(x_1,x_2)=x_1x_2$ $u(1,4)=4$ y $u(2,2)=4$ y $(2,2)~(1,4)$ pero $f(1,4)=9$ y $f(2,2)=8$

Creo que estamos obteniendo este contra ejemplo porque estamos asumiendo inherentemente la convexidad / convexidad estricta de las preferencias. No se nos da que las preferencias sean convexas / estrictamente convexas.

¿Alguna idea?

Answer 1

En general, no representará las mismas preferencias. Parece que hay confusión sobre lo que significa "transformación monótona" en este contexto. No tiene mucho que ver con las preferencias monótonas.

Decimos que la función de utilidad $v:X\to\mathbb{R}$ es un transformación monótona de la función de utilidad $u:X\to\mathbb{R}$ si existe una función estrictamente creciente $g:u(X)\to\mathbb{R}$ (el dominio es el rango de $u$ ) tal que $v(x)=g(u(x))$ para todos $x\in X$ . Una transformación monótona de una función de utilidad representa siempre las mismas preferencias, y esto no tiene nada que ver con que estas preferencias sean monótonas, convexas o algo parecido.

Answer 2

Podemos simplificar suponiendo que $u$ es lineal, en la que podemos tratar $u$ como el valor total en dólares del conjunto de artículos, y $f$ sea el valor total en dólares más el recuento de los artículos. O, en otras palabras, $f$ añade $1$ al valor en dólares de cada artículo. ¿Prefiere $1000$ centavos por el valor de un diamante $\\\$ 100$ ? $u(1000 \text { pennies}) = 10$ , $u(\text{diamond})=100$ Así que $u$ dice que el diamante es mejor. $f(1000 \text { pennies}) = 1010$ , $f(\text{diamond})=101$ Así que $f$ dice que los centavos son mejores.

El hecho de que $f$ es "monótona" (un enunciado más preciso sería que es monótona con respecto a cada uno de los componentes) sólo significa que $f$ da un número mayor que $u$ para la misma cesta de la compra. No dice nada sobre lo que ocurre cuando se comparan diferentes cestas de bienes.