Encontrar la producción dado el coste total (lema de Shephard)

Question

Dada una función de coste total, por ejemplo $$ C = q {w}^{3/4}{v}^{1/4} $$ y el Lemma de Shephard, ¿cómo encontrar la función de producción subyacente $q(k,l)$ ?

Para este ejemplo, el Lemma de Shephard proporciona las funciones de demanda de producción constante: $$ {l}_{c} = \frac{3}{4}q({\frac{v}{w}})^{1/4} $$ $$ {k}_{c} = \frac{1}{4}q({\frac{w}{v}})^{3/4} $$

¿Cómo utilizamos esta información para encontrar $q(k,l)$ ?

Answer 1

Para encontrar la función de producción, se puede resolver para $\frac{v}{w}$ en $ {l}_{c}$ y ${k}_{c}$ y establecer $\frac{v}{w}$ = $\frac{v}{w}$ y luego resolver para $q$ .

De este modo, se obtendrá

$$ \frac{v}{w} = (\frac{4{l}_{c}}{3q})^{4} $$ $$ \frac{v}{w} = (\frac{4{k}_{c}}{q})^\frac{-4}{3} $$

Igualar ambas ecuaciones

$$ (\frac{4{l}_{c}}{3q})^{4} = (\frac{4{k}_{c}}{q})^\frac{-4}{3} $$ Lleva ambos lados al poder de $1/4$ esto elimina el exponente en la expresión de la izquierda $$(\frac{4{l}_{c}}{3q}) = (\frac{4{k}_{c}}{q})^{-1/3} $$

Entonces resuelve para $q$

$$ (q^{-4/3}) \frac{4l_c}{3}= 4^{-1/3} k_c^{-1/3}$$ llevar a ambas partes al poder de $-3$ $$ (q^4) \frac{3^3}{4^3 l_c^{3}}= 4 k_c $$ $$ q^4= \frac{256k_c l_c^{3}}{27} $$ Esta es la función de producción $$ q(k,l)= \frac{4k^{1/4} l^{3/4}}{27^{1/4}} $$