Función de producción y elasticidad

Question

Dejemos que $y=x_1^\alpha x_2^\beta$ donde $\beta=1-\alpha$ sea una función de producción Cobb-Douglas.

Encuentre la elasticidad de las funciones de demanda óptimas (para minimizar el coste de producción) para ambos bienes wrt. $w_2/w_1$ ( $w_1,w_2$ son los precios respectivos de los insumos). ¿Qué dice esto de nuestro gasto en $x_1$ en comparación con el coste total?

Mi intento

Encontré la elasticidad de $x_2^*/x_1^*$ En $w_2/w_1$ sea 1. Ahora, tengo que encontrar un valor para la cantidad gastada en el bien $x_1$ . ¿Cómo puedo hacer eso con mi elasticidad? Creo que tiene que ser constante, pero aún no tengo idea de cómo encontrar dicho valor aunque he encontrado que la elasticidad es 1.

edit: Sé que tiene que ser constante.

Answer 1

Las condiciones de primer orden equiparan el ingreso marginal por factor con el precio de dicho factor:

\begin{align} p\cdot\alpha\frac{y}{x_1} &= w_1\\ p\cdot\beta\frac{y}{x_2} &= w_2, \end{align}

Donde utilicé la propiedad de la función de potencia $(x^n)'_n = n \frac{x^n}{x}$ .

Divida el segundo FOC por el primero para obtener la relación entre los precios relativos y las demandas relativas de factores:

$$\frac{\beta}{\alpha}\frac{x_1}{x_2} = \frac{w_2}{w_1}. \tag{A}$$

De esta relación podemos sacar dos conclusiones:

1. Reescribe (A) en forma de logaritmo:

$$- \ln \frac{x_2}{x_1} + \ln \frac{\beta}{\alpha} =\ln \frac{w_2}{w_1},$$

Y utilizando la definición logarítmica de la elasticidad $\epsilon_y^x = \frac{\mathrm{d}\ln y}{\mathrm{d}\ln x}$ llegamos a la conclusión de que la demanda relativa de factores es decreciente en los precios relativos de los factores con elasticidad unitaria:

$$\frac{\mathrm{d}\ln x_2/ x_1}{\mathrm{d}\ln w_2/w_1} = -1.$$

2. Multiplica ambos lados de (A) por $\frac{x_2}{x_1}$ :

$$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{w_2x_2}{w_1x_1}. \tag{B}$$

El reordenamiento (B) dice que los gastos en los diferentes factores son proporcionales a sus respectivas elasticidades de entrada, es decir, si nuestro gasto total en el factor 1 es $\\\$ \N - alfa$ entonces debemos gastar $\\\$ |beta$ en el factor 2.

El coste total $C$ se asigna en la misma proporción, es decir, para una función de producción general Cobb-Douglas, el gasto en el factor 1 es

$$w_1 x_1 = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}C,$$

o simplemente $w_1 x_1 =\alpha C$ si $\alpha+\beta=1$ es decir, si la función de producción es homogénea de grado 1.