Demostrar que YTM > Rendimiento actual del bono al descuento

Question

Actualmente estoy atascado en demostrar que para un bono al descuento: YTM > rendimiento actual, con:

$$\text{current yield} = c \frac{100}{P}$$ con $P=100-d$ el precio del bono descontado y $c$ el tipo de cupón.

Con simulaciones numéricas en Python, he visto que efectivamente la relación es cierta, pero estoy atascado en intentar demostrarlo teóricamente.

Esto es lo que he probado:

He expresado el rendimiento actual en función del YTM y he considerado la función f(YTM) = YTM - Rendimiento actual.
Para demostrar la relación, mi enfoque era derivar la función, ver que la derivada es positiva y luego ver que YTM - Rendimiento actual > 0 para Rendimiento actual > Tipo de cupón. Sin embargo, en ese enfoque, la expresión que obtengo para la derivada es muy compleja y no se puede interpretar fácilmente.

¿Tiene algún consejo sobre cómo afrontar esta prueba?

Answer 1

Creo que esta prueba funciona: Denotemos el rendimiento anual de un bono como sigue: $$ y(-Price, Annual Coupon Amount, Redemption Amount). $$ Entonces, por ejemplo, $y(-100, C , 100) = C$ Que simplemente dice que el rendimiento de un bono comprado a la par y con un cupón de $C$ también tiene un rendimiento de $C$ . De la misma manera, $y(-100, C/P, 100) = C/P$ . Ahora escalando cada flujo de caja por el factor $P/100$ no puede afectar al rendimiento, por lo que $y(-P, C, P) = C/P$ . Finalmente debemos tener $y(-P, C, 100) > C/P $ ya que este último bono tiene un mayor flujo de caja al vencimiento dado que $(100>P)$ .