Digamos que tenemos una estimación de la función de densidad empírica $f^{\mathbb{P}}_S(s)$ de los rendimientos históricos de una acción $S$ durante un periodo de 30 días con la medida objetiva del mundo real $\mathbb{P}$ . También tenemos un precio ATM de una opción de venta europea a 30 días sobre la acción $P(ATM)$ . Sabemos que bajo la medida de riesgo neutral $\mathbb{Q}$ la acción descontada es una martingala, $E^{\mathbb{Q}}[e^{-rt}S(t)|S_0]=S_0$ . Así pues, tenemos dos condiciones generales de momento, una para la venta y otra para el precio descontado, que podemos utilizar para estimar el cambio de medida $\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ . La pregunta es ¿cómo?
Es fácil hacer coincidir una de las dos condiciones aplicando un desplazamiento adecuado a los logaritmos de retorno, pero ¿qué transformación aplicar cuando necesitamos hacer coincidir ambas? ¿Y qué pasa si también tenemos, por ejemplo, dos precios de venta fuera de mercado $P(0.9S_0)$ y $P(1.1S_0)$ ? En cualquier caso, no hay suficientes datos de opciones para estimar la densidad de riesgo neutro directamente, así que estoy buscando una manera de inferirla a partir de la densidad del mundo real y de una serie de condiciones de momento de riesgo neutro.
Inicialmente pensé en utilizar el método de Máxima Entropía Cruzada (MCE) con restricciones de momentos, pero esto requeriría resolver un problema de optimización para encontrar los multiplicadores lagrangianos, y preferiría evitar la optimización. Además, si la derivada de Radon-Nikodym siempre viene dada por una exponencial de Doléans-Dade (por cierto, ¿es cierto que el cambio de medida sólo puede adoptar esta forma? al menos cuando se restringe a un proceso de difusión impulsado por el proceso de Wiener?), entonces tal vez podamos utilizar esta información para calibrarla mediante, digamos, OLS?
Tal vez haya alguna bibliografía al respecto, por lo que agradecería referencias así como sugerencias directas sobre cómo enfocar esto.
