Pregunta sobre un trabajo de ergodicidad en economía

Question

Descargo de responsabilidad: no estoy muy versado en economía, pero tengo conocimientos matemáticos (doctorado en ingeniería mecánica)

Hace poco me enviaron un artículo de Nature Physics, "El problema de la ergodicidad en economía" por Ole Peters .

Lo comentaba con un amigo que tampoco es economista pero que tiene algo más que un interés pasajero.

Afirmó que en Figura 2 del documento el gráfico es erróneo, es decir, que los valores de las expectativas (la línea azul) son erróneos en el sentido de que deberían trazar un gráfico de 0.9^(number of rounds/2) que tendría una pendiente negativa. Luego dice que esto hace que el papel sea basura.

Obviamente, este artículo se publicó en Nature Physics, que actualmente tiene un factor de impacto de 22,8, por lo que me resulta difícil creer que haya pasado la revisión por pares.

Así que mi pregunta, ¿se equivoca el periódico o lo hace mi amigo?

EDITAR #1:

Uno de los comentarios era de dónde se derivaba la ecuación de expectativa. No estoy seguro de la derivación de mis amigos, pero si se ejecuta el modelo propuesto en la ecuación 2 del documento, se obtiene efectivamente un rendimiento siempre decreciente. Utilicé el siguiente código Python para ejecutar el modelo...

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np

wealth     = 1000
num_tosses = 1000
h_t        = np.random.randint(1, high=1000, size=num_tosses)
x          = []
acc_wealth = []

for idx, toss in enumerate(h_t):

    if toss % 2 == 0:
        wealth = wealth + (0.5*wealth)
    else:
        wealth = wealth - (0.4*wealth)

    x.append(idx)
    acc_wealth.append(wealth)

fig = plt.figure()
plt.plot(x, acc_wealth, "o-", lw = 2)

Un gráfico típico de la riqueza acumulada frente al número de lanzamientos....

Está claro que esto no es lo que vemos en la figura 2 del documento...

Aquí la línea azul es la riqueza acumulada (escala logarítmica en el eje y) contra el número de lanzamientos. ¡¡¡Está aumentando!!!

EDITAR #2

Voy a publicar una versión modificada de esto en la página de intercambio de estadísticas también.

EDITAR #3

Respuesta de la pila de validación cruzada

Answer 1

El código Python de OP está calculando una trayectoria en el tiempo y no está promediando sobre las trayectorias. Por lo tanto, no es el valor que se muestra en el gráfico. De hecho, lo que el código Python de la OP calcula es $(1+\Delta x_H)^h(1-\Delta x_T)^t$ donde $h$ denota el número de cabezas y $t$ el número de lanzamientos de colas. Está más cerca de la línea roja que es el camino más probable donde $h=t$ .

$$\mathbf E[x_{t+1}|x_t] = \big[(1+\Delta x_H)p_H+(1-\Delta x_T)p_L\big]x_t=(1+p_H\Delta x_H-p_L\Delta x_T)x_t=:ex_t,$$ y $$\mathbf E[x_{t+1}|x_{t-1}]=\mathbf E[\mathbf E[x_{t+1}|x_t]|x_{t-1}]=e^2x_{t-1}.$$ Así que $\mathbf E[x_t|x_t]=e^tx_0$ exactamente como se muestra en el gráfico de papel. Esto también se puede derivar directamente a través de la función generadora de las expectativas $\frac{x_t}{x_0}$ que es, debido a la independencia de cada lanzamiento, simplemente el producto de todos los productos de puntos de la retribución y su probabilidad asociada, es decir, $e^t$ .