¿Cómo extraer las ponderaciones normalizadas de la cartera a partir del ACP, cuando el vector propio tiene elementos negativos?

Question

La mayoría de los ejemplos de utilización del ACP de los rendimientos de los activos para construir una cartera propia parecen centrarse en la renta variable, que tiende a estar correlacionada positivamente. Por ello, suelo ver ponderaciones de activos normalizadas (de forma que sumen 1) del tipo:

weights = eigenvector[0, :] / sum(eigenvector[0, :])

Donde el vector propio cero se asocia con el valor propio de la mayor varianza.

Ocasionalmente aparecerán valores negativos en ese PC0 (por ejemplo, si se introduce un activo con correlación negativa), lo que se explicará como un peso hacia una venta en corto. Pero estoy confundido acerca de cómo estos pesos deben ser correctamente normalizados en presencia de valor(es) negativo(s).

Siguiendo el mismo procedimiento anterior, las ponderaciones sumarán, por supuesto, uno, pero las exposiciones netas y brutas serán ahora, por supuesto, diferentes. ¿Se acepta esto sin más?

Pregunta complementaria, ¿los pesos deberían ser aquí realmente las cargas (vector propio * root cuadrada (valores propios))?

Answer 1

No estoy del todo seguro de sobre qué está realizando el ACP, ¿está utilizando una matriz de correlación o de covarianza? En cuanto a la cuestión del valor propio negativo, el signo asociado a un valor propio no es importante, ya que los vectores propios sólo son únicos hasta una constante. Si tienes una matriz cuadrada, $X$ un valor propio $\lambda_i$ y el vector propio $v_i$ para $X$ satisfechos, \begin{equation} Xv_i = \lambda_i v_i \end{equation} Si se voltea el signo de $\lambda_i$ a $-\lambda_i$ entonces implica que tenemos $-v_i$ como un vector propio de $X$ y la ecuación anterior sigue siendo válida. Estos valores propios representan la varianza explicada por el correspondiente vector propio en relación con el eje original.

En cuanto a su pregunta sobre los pesos, no estoy del todo seguro de lo que está ponderando. Usted podría asignar un "peso" a cada Eigenvector como $\frac{\sum_{j=1}^{k}\lambda_j}{\sum_{i=1}^{p}\lambda_i}$ que representaría la proporción de la varianza explicada al incluir los primeros k componentes. A continuación, puede utilizarlo para descartar o conservar los componentes que contribuyen poco a la varianza global de la cartera.

Si, por el contrario, lo que le interesa son los datos originales (¿una cartera de acciones?) en el nuevo eje (componentes principales). Entonces, para ello, utilizaría la matriz de cargas. Para una columna determinada de la matriz de cargas se tiene un vector propio. Cada elemento del vector representa un "peso" correspondiente a una de sus variables originales que asigna esa variable al nuevo eje (componente principal) para este vector propio. Por lo tanto, al multiplicar la matriz de datos originales por la matriz de cargas, se obtiene la matriz de puntuación (los datos originales asignados al nuevo eje de componentes principales). Creo que la matriz de cargas es la matriz de pesos que estás buscando. Por favor, añada un comentario si he ido en la dirección equivocada aquí.