Cómo se deriva la ecuación de Euler para el consumo a partir de la restricción presupuestaria intertemporal y la función de utilidad vitalicia en macroeconomía básica

Question

Sospecho que lo que en realidad estoy preguntando aquí es sólo una cuestión de cálculo básico, que he sobredimensionado, pero quería preguntarlo aquí para asegurarme antes de llevarlo a SEMaths.

En el libro de texto de Introducción a la Macroeconomía de Jones, dice que en realidad no necesitamos saber el cálculo de CÓMO se deriva la Ecuación de Euler, lo cual es cierto, pero me cuesta avanzar sin él.

Comenzamos con la función de utilidad vitalicia:

$U= u(c_{today}) + \beta u(c_{future})$

$c$ es una cantidad consumida, $u()$ es una función de utilidad, $\beta$ es un parámetro de relación para tener en cuenta la impaciencia.

A continuación, utilizamos la restricción presupuestaria intertemporal para expresar $c_{future}$ en términos de $c_{today}$ .

$U= u(c_{today}) + \beta u[(1 + R)(\bar{X} - c_{today})]$

$R$ es el tipo de interés real, $\bar{X}$ es la riqueza total de la vida

El siguiente paso es el que no entiendo, y probablemente se reduce a mi propio y pobre cálculo. Se nos dice que tomemos la derivada de la ecuación anterior con respecto a $c_{today}$ para llegar a

$u'(c_{today}) + \beta u(c_{future})(1+R)(-1)=0$ O $u'(c_{today}) = \beta (1+R)u'(c_{future})$

Entiendo que hemos aplicado la regla de la suma de la diferenciación, es decir, tomamos la derivada de $u(c_{today})$ y $\beta u[(1 + R)(\bar{X} - c_{today})]$ por separado. Y como en el contexto de este problema la función de utilidad es una caja negra, simplemente la expresamos como $u'(c_{today})$ . No hay problema.

Sin embargo, cuando miro la segunda parte, $\beta u[(1 + R)(\bar{X} - c_{today})]$ No entiendo qué norma se ha aplicado. Parece ser la regla de la cadena, pero si estoy leyendo correctamente, entonces $(1 + R)(\bar{X} - c_{today})$ es el argumento de la función de utilidad. La regla de la cadena, tal y como yo la entiendo, sólo se aplicaría al valor de la función. Después de realizar la diferenciación, algunos valores han pasado de alguna manera de ser argumentos de una función a formar parte de la ecuación. Teniendo en cuenta que, para este ejercicio, la función de utilidad es una caja negra con una relación desconocida, ¿cómo podemos aplicar alguna de nuestras reglas de diferenciación a los argumentos?

Answer 1

Se trata simplemente de la regla de la cadena, o se puede ver desde el diferencial total.

Dejemos que $C_1$ ser el consumo hoy y $C_2$ ser el consumo futuro.

En la segunda parte tiene $U(C_2 (C_1) )$ es decir, una función de utilidad que depende de $C_2$ que es a su vez (a través de la restricción presupuestaria que has utilizado) una función de $C_1$ . Se toma la derivada de U con respecto a $C_1$ , lo que equivale a:

$d U/d C_1 = \partial U(C_2)/ \partial C_2 * d C_2 / d C_1$ .

La primera parte es sólo $ \partial U(C_2)/ \partial C_2 = U'(C_2)$ .

Por lo que has escrito, parece que entiendes que $C_2(C_1)=(1 + R)(\bar{X} - C_1)$ .

Tomando la derivada de la misma para el segundo factor de la multiplicación anterior se obtiene el resultado.

Answer 2

Gracias a @bbk y a su respuesta probablemente más directa de arriba, he aquí cómo he conseguido entenderlo sin diferenciación parcial. La clave era entender el consumo de toda la vida en función de una función.

Comienza con la máxima utilidad vital como la suma de dos funciones de utilidad

$U_M = u(C_T) + \beta u(C_F)$

A continuación, utilice la restricción presupuestaria intertemporal para demostrar que, cuando maximizamos el consumo, el consumo futuro puede expresarse como una función del consumo actual

$C_F(C_T) = (1 + R)(\bar{X} - C_T)$

Volvamos a nuestra ecuación original y sustituyamos $C_F$ con $C_F(C_T)$

$U_M = u(C_T) + \beta u(C_F(C_T))$

Y cuando lo veo así, la aplicación de la regla de la cadena es intuitiva.