Cambio de medida y Teorema de Girsanov: ¿Admiten los siguientes modelos el arbitraje y son completos?

Question

Dejemos que $S_{t}$ denotan el precio de las acciones, $\beta_{t}$ denotan la cuenta de ahorro. Para cada uno de los modelos que se exponen a continuación, indique razonadamente si admite el arbitraje y si es completo.

(a) $\beta_{t}=e^{t}, S_{t}=B_{t}+1$

(b) $\beta_{t}=e^{t}, S_{t}=e^{t+\int_{0}^{t} s d B_{s}}$

(c) $\beta_{t}=e^{t}, S_{t}=e^{t+\int_{0}^{t} B_{s} d s}$

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Este es mi enfoque para estas preguntas:

$$\text { (a) } \frac{S_{t}}{\beta_{t}} =\frac{1+B_{t}}{e^{t}} =e^{-t}+e^{-t} B_{t}$$

$e^{-t}$ es determinista, pero no constante y, por tanto, este modelo admite el arbitraje y no es completo. ¿Es esta la lógica correcta?

$$\text { (b) } \quad \frac{S_{t}}{\beta_{t}}=\frac{e^{t} e^{\int_{0}^{t} s d B_{s}}}{e^{t}} = e^{\int_{0}^{t} s d B_{s}} $$

¿Cómo debo proceder a partir de aquí? No estoy seguro de qué hacer lo mismo con (c) también.

$$\text { (c) } \quad \frac{S_{t}}{\beta_{t}}=\frac{e^{t} e^{\int_{0}^{t} B_{s}ds}}{e^{t}} = e^{\int_{0}^{t} B_{s}ds} $$

¿Cómo aplico el teorema de Girsanov a (b) y (c)? No estoy seguro de cómo demostrarlo para los dos últimos, cualquier ayuda sería apreciada gracias

Answer 1

En primer lugar, vamos a comprobar si estos modelos están libres de abritraje. El primer teorema fundamental de la valoración de activos dice que si existe una medida de probabilidad equivalente bajo la cual $\frac{S_t}{\beta_t} = e^{-t}S_t$ es una martingala, entonces el mercado está libre de arbitraje, por lo que comprobaremos si tal medida martingala equivalente existe. Aquí es donde utilizaremos el teorema de Girsanov, que establece que si $Z_t = \exp\left(\int_0^t \theta_s dB_s - \frac 12 \int_0^t \theta_s^2 ds\right)$ y $d\tilde{\mathbb{P}} = Z_T d\mathbb{P}$ entonces $\tilde{B}_t = B_t - \int_0^t \theta_s ds$ es un movimiento browniano bajo $\tilde{\mathbb{P}}$ . También podríamos escribirlo como $d\tilde{B}_t = dB_t - \theta_t dt$ .

En a), utilizamos el lema de Ito para calcular $d(e^{-t}S_t) = e^{-t}(dS_t - S_tdt) = e^{-t}(dB_t - S_tdt)$ . Queremos que esto sea una martingala bajo $\tilde{\mathbb P}$ , por lo que queremos $d\tilde B_t = dB_t - S_tdt$ . Esto sugiere establecer $\theta_t = S_t$ para todos $t$ en el teorema de Girsanov, es decir, definir $Z_t = e^{\int_0^t S_sdB_s - \frac 12 \int_0^tS_s^2ds}$ y $d\tilde{\mathbb{P}} = Z_T d\mathbb{P}$ . Entonces $d(e^{-t}S_t) = e^{-t}d\tilde B_t$ es una martingala bajo $\tilde{\mathbb{P}}$ Por lo tanto, este modelo está libre de arbitraje.

En b), calculamos \begin{align*}d(e^{-t}S_t) &= d(e^{\int_0^t s dB_s}) \\ &= e^{\int_0^t s dB_s}(tdB_t + \frac 12 t^2 dt) \\ &= te^{\int_0^t s dB_s}(dB_t + \frac 12 t dt).\end{align*} De nuevo queremos encontrar una medida de probabilidad que haga que esto sea una martingala, por lo que queremos $d\tilde B_t = dB_t + \frac 12 t dt$ . Esto sugiere establecer $\theta_t = -\frac 12 t$ en el teorema de Girsanov, así que define $Z_t := \exp\left(-\frac 12 \int_0^t s dB_s - \frac 18 \int_0^t s^2 ds\right)$ y $d\tilde{\mathbb{P}} := Z_T d\mathbb{P}$ . Entonces $d(e^{-t}S_t) = te^{\int_0^t s dB_s}d\tilde B_t$ es una martingala bajo $\tilde{ \mathbb{P}},$ por lo que este modelo también está libre de arbitraje.

En c), calculamos \begin{align*}d(e^{-t}S_t) &= d(e^{\int_0^t B_sds}) \\ &= e^{\int_0^t B_sds}B_tdt.\end{align*} No importa cómo cambiemos la medida, no podemos hacer que esto sea una martingala porque no hay $dB_t$ término. Por lo tanto, este modelo no está libre de arbitraje.

Ahora queremos comprobar si estos modelos están completos. Normalmente, la definición de completo requiere que el modelo esté libre de arbitraje, por lo que podemos descartar c) inmediatamente. El segundo teorema fundamental de la fijación de precios de los activos dice que un modelo libre de arbitraje es completo si y sólo si la medida martingala equivalente es única. En a) y b) vimos que sólo había una elección de $\theta_t$ para hacer $e^{-t}S_t$ una martingala, por lo que ambos modelos son también completos. Una buena regla general es que los modelos son completos cuando hay el mismo número de activos de riesgo que de fuentes de incertidumbre (es decir, movimientos brownianos).

EDIT: Probablemente debería cerrar una pequeña brecha en mi respuesta a c). El primer teorema fundamental de la fijación de los precios de los activos no tiene una (simple) inversa, por lo que el hecho de que no haya una medida de martingala equivalente no implica que haya un arbitraje. En cambio, podemos construir explícitamente una estrategia de arbitraje. Si consideramos la riqueza $X_t$ de un inversor que tiene $\Delta_t$ acciones en el momento $t$ entonces su dinámica de riqueza es $$dX_t = \Delta_t dS_t + (X_t - \Delta_t S_t)dt = (\Delta_t S_t (1+B_t) + (X_t-\Delta_t S_t))dt = (X_t + \Delta_t S_t B_t)dt.$$ Configuración $\Delta_t = \operatorname{sgn}(B_t)$ entonces da $dX_t = (X_t + S_t |B_t|)dt$ . Dado que la deriva es no negativa y es estrictamente positiva siempre que $B_t \ne 0$ concluimos que se trata de un arbitraje porque partiendo de $X_0 = 0$ terminamos con $X_T \ge 0$ a.s. y $\mathbb{P}(X_T > 0) > 0$ .

Answer 2

Asumo que los tres modelos se plantean bajo la medida del mercado monetario: entonces no hay arbitraje si el pago descontado es una martingala bajo el mercado monetario Numeraire. Por lo tanto, para demostrar que no hay arbitraje en los tres modelos, tendríamos que demostrar que:

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_t}{\beta_t}|\mathcal{F_0}\right]=\frac{S_0}{\beta_0}$$

Modelo a :

$$\frac{S_0}{\beta_0}=\frac{1+B_0}{e^0}=1$$

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_t}{\beta_t}|\mathcal{F_0}\right]=\mathbb{E}[e^{-t}+e^{-t}B_t|\mathcal{F_0}]=e^{-t}+e^{-t}\mathbb{E}[B_t|B_0]=e^{-t}\neq1$$

Por lo tanto este modelo admite el arbitraje como bien has señalado.

Modelo b :

$$\frac{S_0}{\beta_0}=1$$

$$\mathbb{E}\left[\frac{S_t}{\beta_t}|\mathcal{F_0}\right]=\mathbb{E}\left[\frac{e^{t+\int_0^thdB_h}}{e^t}|\mathcal{F_0}\right]=\mathbb{E}\left[e^{\int_0^thdB_h}|\mathcal{F_0}\right]$$

Ahora por la fórmula de Ito, $\int_{h=0}^{h=t}hdB_h=tB_t-\int_{h=0}^{h=t}B_hdh$ y esta cantidad se distribuye normalmente con una expectativa de cero y una varianza de $\frac{1}{3}t^3$ (por Ito Isometry, véase el final del post*). Así que sabemos que $e^{\int_0^thdB_h}$ está distribuida log-normalmente, y podemos escribir

$$\mathbb{E}\left[e^{\int_0^hhdW_h}\right]=e^{0+0.5*\frac{1}{3}t^3}=e^{\frac{1}{6}t^3}\neq1$$

Así que, de nuevo, este modelo no está libre de arbitraje.

Modelo c :

$$\frac{S_0}{\beta_0}=1$$

Mediante la fórmula Ito, $\int_{h=0}^{h=t}B_hdh=tB_t-\int_{h=0}^{h=t}hdB_h$ . Esto tiene una expectativa de cero de nuevo y la varianza es de nuevo $\frac{1}{3}t^3$ (ver aquí ), por lo que:

$$\mathbb{E}\left[e^{\int_{h=0}^{h=t}B_hdh}\right]=e^{\frac{1}{6}t^3}\neq1$$

Así que este modelo no está libre de arbitraje.

*La isometría de Ito establece que, para cualquier proceso estocástico adaptado $X_t$ :

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_{h=0}^{h=t}X_hdB_h\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_{h=0}^{h=t}X_h^2dh\right]$$

Así que tenemos ( $X_t=t$ ):

$$\mathbb{E}\left[\left(\int_{h=0}^{h=t}hdB_h\right)^2\right]=\mathbb{E}\left[\int_{h=0}^{h=t}h^2dh\right]=\left[\frac{1}{3}h^3\right]_{h=0}^{h=t}=\frac{1}{3}t^3$$