¿Racionalización convexa cuando los conjuntos de presupuestos son segmentos?

Question

El fondo de la cuestión:

El SARP puede definirse en el conjunto del presupuesto general.

SARP: Asumir para todos $B$ la elección $c(B)$ es sólo un elemento. Si $x_i,x_{i+1}\in B_i$ y $x_i = c(B_i)$ para todos $i\in \{1,N-1\}$ entonces $x_1=c(B_1)\notin B_N$ .

Aprendí que, si el presupuesto es este: $B_i=\{x\mid p_ix\leq p_ix_i\}$ entonces, el SARP implica que los datos finitos son racionalizados por la preferencia convexa.

Motivación: La mayoría de los problemas de la vida real tienen presupuestos más complicados. Por ejemplo, si el agente está asignando su dinero entre un valor arriesgado y un efectivo sin riesgo, entonces su presupuesto será un segmento en lugar de un triángulo.

Mi pregunta : Dejemos que $y^i$ y $z^i$ sean dos puntos, y $\overline{ y^iz^i}$ es el segmento que conecta $y^i$ y $z^i$ .

Dejemos que $B^i=\overline{ y^iz^i}$ sea el conjunto de presupuestos de los segmentos.

Que los datos sean $(x^i,B^i)^{i\in\{1,2,...,n\}}$ donde $n$ es un número natural.

¿Podemos seguir teniendo una racionalización convexa de los datos ?

Es decir, tratamos de encontrar un axioma, similar al SARP, tal que las dos condiciones siguientes sean equivalentes:

1. Los datos satisfacen el axioma,
2. Los datos se racionalizan mediante una preferencia convexa.

Si además pudiéramos conseguir la monotonicidad, entonces sería mejor. La atención se centra en la convexidad de la preferencia.

Mi intento: He revisado el artículo "Revealed preference analysis for convex racionalizaciones en conjuntos presupuestarios no lineales". Sin embargo, este documento requiere que el conjunto presupuestario $B$ es monótono, y un conjunto de presupuestos de segmentos no es monótono.

Cualquier comentario, largo o corto, será de ayuda. Cualquier referencia relacionada también ayudará. Gracias de antemano.

Answer 1

Tome un conjunto de datos $D = (B^t, x^t)_{t \in T}$ tal que para todo $t$ , $x^t \in B^t$ . Diré que $D$ es racionalizable por la función de utilidad $u$ si para todo $t$ y todos $x \in B$ : $u(x^t) \ge u(x)$ .

Si sólo se impone la convexidad a $u$ entonces cualquier conjunto de datos $D$ es racionalizable mediante la función de utilidad constante (convexa) $u(x) = k$ . Así que esto no tiene implicaciones comprobables.

Supongamos ahora que impone monotonicidad estricta en $u$ en el sentido de que $x > y$ implica $u(x) > u(y)$ .

Considere un conjunto de presupuestos $\overline{y^t z^t}$ y tomar el casco integral: $$ CH(\overline{y^t z^t}) = \left\{x \in \mathbb{R}^n: x \le w \text{ for some } w \in \overline{y^t z^t}\right\}. $$

Entonces podemos demostrar que el conjunto de datos $D = (\overline{y^t z^t}, x^t)_{t \in T}$ es racionalizable por una función de utilidad monótona $u$ si y sólo si el conjunto de datos $D' = (CH(\overline{y^t z^t}), x^t)_{t \in T}$ es racionalizable por la misma función de utilidad monótona $u$ .

Para la prueba: $(\to)$ Dejemos que $D$ sea racionalizable por la función monótona $u$ . Queremos demostrar que para todos los $t$ y todos $x \in CH(\overline{y^t z^t})$ tenemos $u(x^t) \ge u(x)$ . De hecho, si $x \in CH(\overline{y^t z^t})$ sabemos que $x \le w$ para algunos $w \in \overline{y^t z^t}$ . Como tal: $$ u(x) \le u(w) \le u(x^t), $$ donde la primera desigualdad proviene de la condición de monotonicidad en $u$ y la última de la racionalidad de D.

$(\leftarrow)$ Dejemos que $D'$ ser racionalizable por $u$ . Demostremos primero que para todo $t$ , $x^t \in \overline{y^t z^t}$ . Si no, entonces como $x^t \in CH(\overline{y^t z^t})$ debe existir un $w \in \overline{y^t z^t}$ tal que $x^t < w$ Entonces, por monotonía de $u$ y la racionalidad de $D'$ : $$ u(x^t) < u(w) \le u(x^t), $$ una contradicción. Ahora, para cualquier $z \in \overline{y^t z^t}$ se deduce entonces de la racionalidad de $D'$ que $u(z) \le u(x^t)$ Así que $D$ también es racionalizable por $u$ .

Esto muestra la siguiente equivalencia:

1. El conjunto de datos $D = (\overline{y^t, z^t}, x^t)_{t \in T}$ es racionalizable mediante una función de utilidad convexa y monótona $u$ .
2. El conjunto de datos $D = (CH(\overline{y^t, z^t}), x^t)_{t \in T}$ es racionalizable mediante una función de utilidad convexa y monótona $u$ .

Como los conjuntos $CH(\overline{y^t z^t})$ son completas, las condiciones de preferencia revelada para responder a la condición 2) pueden encontrarse en el documento JET al que usted se refiere (Revealed preference analysis for convex rationalizations on nonlinear budget sets)

Answer 2

La idea es considerar el hiperplano tangente a la curva de indiferencia a través de $x^t$ como un "presupuesto lineal". Estos presupuestos lineales tienen que incluir el conjunto $\overline{y^t, z^t}$ . Entonces, haciendo uso de estos presupuestos lineales, podemos aprovechar los resultados de Matzkin & Richter (JET,1991, Testing strictly concave rationality) para obtener una racionalización estrictamente convexa..

Teorema del estilo Afriat Dejemos que $D = (\overline{y^t z^t}, x^t)_{t \in T}$ sea un conjunto de datos. Entonces lo siguiente es equivalente:

1. $D$ es racionalizable mediante una función de utilidad estrictamente monótona con curvas de indiferencia estrictamente convexas.

2. Para todos $t \in T$ existe un vector $p^t \in \mathbb{R}^n_{++}$ y un número $u^t \in \mathbb{R}$ tal que (i) para todo $t, v, \in T$ Si $x^v \ne x^t$ : $$ u^v - u^t < p^t(x^v - x^t), $$ (ii) para todos los $t, v \in T$ con $x^v = x^t$ , $$ u^t = u^v, $$ y (iii) para todos los $t \in T$ : $$ p^t x^t \ge p^t y^t \text{ and } p^t x^t \ge z^t. $$

3. Para todos $t \in T$ existe un vector $\tilde p^t \in \mathbb{R}^n_{++}$ tal que (i) para todo $t \in T$ : $$ \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t y^t \text{ and } \tilde p^t x^t \ge \tilde p^t z^t $$ y (ii): $$ (\tilde p^t, x^t)_{t \in T} \text{ satisfies SARP}. $$

4. $D$ es racionalizable mediante una función de utilidad estrictamente monótona y estrictamente cóncava.

( $1 \to 3$ ) El conjunto $\overline{y^t z^t}$ es convexo y los conjuntos del contorno superior $UC(x^t) = \{y \in \mathbb{R}^n: u(y) \ge u(x^t)\}$ son estrictamente convexos. Por lo tanto, utilizando un teorema del hiperplano de apoyo adecuado, podemos encontrar vectores $\tilde p^t$ tangente a $UC(x^t)$ en $x_t$ que separa $UC(x^t)$ de $\overline{y^t z^t}$ lo que significa que $\tilde p^t x^t \ge \tilde p^t y^t$ y $\tilde p^t x^t \ge \tilde p^t z^t$ . Esto demuestra (i). También de la monotonicidad estricta de $u$ Debemos tener que $\tilde p^t \in \mathbb{R}^n_{++}$ . A continuación, para todos los $w \ne x^t$ con $\tilde p^t w \le \tilde p^t x^t$ tenemos $u(x^t) > u(w)$ .

Ahora, define $x^t S x^v$ si $x^t \ne x^v$ y $\tilde p^t x^t \ge \tilde p^t x^v$ . Entonces se deduce que $x^t S x^v$ implica $u(x^t) > u(x^v)$ Así que $S$ tiene que ser acíclico, lo que demuestra que $(\tilde p^t, x^t)_{t \in T}$ satisface el SARP.

( $2 \iff 3$ ) Se deduce del teorema 2 de Matzkin y Richter (Testing strictly concave rationality, 1991, JET), donde definimos $p^t = \lambda^t \tilde p^t$ .

( $3 \to 4$ ) De Matzkin y Richter se deduce que 3 implica la existencia de una función de utilidad estrictamente monótona y estrictamente cóncava tal que para todo $w$ con $\tilde p^t w \le \tilde p^t x^t$ tenemos $u(x^t) \ge u(w)$ . Entonces, si $w \in \overline{y^t z^t}$ tenemos inmediatamente que $\tilde p^t w \le \tilde p^t x^t$ (como $w$ es una combinación convexa de $y^t$ y $z^t$ ) por lo que $u(x^t) \ge u(w)$ como queríamos mostrar.

( $4 \to 1$ ) Adelante.

Observación 1 : Las condiciones en 2 proporcionan un conjunto de desigualdades lineales que pueden ser verificadas eficientemente (excepto tal vez la desigualdad estricta que requerirá algún $\varepsilon$ -reglaje).

Observación 2 : Para intuir un poco más la condición 3-(i), consideremos el caso bidimensional, $y^t, z^t, x^t \in \mathbb{R}^2$ . Véase la figura siguiente. Hay 3 casos. Aquí la línea discontinua da la pendiente $\tilde p^t$

1. Si $y^t > z^t$ . Entonces, debido a la monotonicidad estricta, $x^t$ tiene que ser igual a $y^t$ . No hay (a priori) ninguna restricción sobre $\tilde p^t$ (véase el panel superior izquierdo de la figura). Un razonamiento similar es válido si $z^t > y^t$ .
2. Si $y^t$ y $z^t$ no están ordenados y $x^t = y^t$ o $x^t = z^t$ . Entonces la pendiente $\tilde p^t$ es más plana, más empinada o igual a la pendiente de la línea $\overline{y^t z^t}$ . (panel superior derecho o inferior izquierdo).
3. Si $y^t$ y $z^t$ no están ordenados y $x^t$ está entre $y^t$ y $z^t$ entonces $\tilde p^t$ tiene que ser igual a la pendiente de la línea $\overline{y^t z^t}$ . (panel inferior derecho).