Considere una variable $Y_t$ que evoluciona en el tiempo según la relación fija $Y_{t+1} = f(Y_t)$ . Es evidente que los puntos fijos de $f$ son estados absorbentes del proceso. Para evaluar estabilidad podemos admitir ahora pequeños errores, es decir $Y_{t+1} = f(Y_t) + \epsilon_t$ (No creo que importe mucho exactamente cómo $\epsilon_t$ se distribuye, pero debemos suponer que tiene media cero). En ese caso, creo que los puntos estables dependerán de la pendiente de $f$ . En particular, debemos preguntarnos si la derivada de $f$ es mayor o menor que uno (en varios puntos).
Pregunta : ¿Puede alguien remitirme a textos que aclaren las matemáticas de tales procesos?
Comentario 1: Sé que este tipo de cosas surgen en un montón de áreas de la economía, por ejemplo, en la macroeconomía (piense en el modelo de Solow), la teoría del crecimiento (piense en la forma de la S en la "Economía Pobre"), y la teoría de juegos evolutiva. Estarían bien las referencias de estas áreas, pero lo ideal sería un tratamiento relativamente abstracto.
Comentario 2: Puede ser útil si proporciono un ejemplo de lo que busco. Dejemos que $f(Y) = Y^2$ y supongamos que el valor inicial $Y_0$ está en $[0, 1]$ . Entonces $Y_t \in [0, 1]$ para todos $t > 0$ . Además, la función tiene puntos fijos en $Y = 0$ y $Y = 1$ Así que si $Y_t$ de alguna manera golpea estos puntos, se atascará allí. Considerando ahora el proceso "perturbado", supongamos que $Y_{t+1} = Y_t^2 + \epsilon_t$ . Cálculo de la derivada, $f'(Y) = 2Y$ y así las derivadas son $f'(0) = 0 < 1$ y $f'(1) = 2 > 1$ . Esto sugiere que, en algún sentido (¡que espero se aclare!), el punto fijo en $Y = 0$ es el estable y en el que el proceso debería terminar generalmente.
