Estoy estudiando por mi cuenta para un examen actuarial y tengo curiosidad por una propiedad del método de la variante antitética para aumentar la precisión del precio de Monte Carlo (es decir, para cada sorteo aleatorio de $z$ También incluye un sorteo de $-z$ en la simulación).
Pregunta:
Supongamos el marco Black-Scholes y consideremos una opción de compra europea con strike $K$ que vence en $T$ años en una acción que no paga dividendos y que actualmente cotiza a $S_0$ con una volatilidad anual $\sigma$ . Supongamos que se utiliza una simulación de Monte Carlo para estimar el valor esperado al vencimiento de la opción.
La simulación se realizó con $n$ dibuja $u_1, u_2, ..., u_n$ de una distribución uniforme para generar el precio de las acciones. Supongamos que cada una de estas extracciones genera un precio de las acciones al vencimiento que da un resultado nulo para la opción de compra y, por tanto $E(\text{Payoff}) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n C(S_T^i, K, T) = 0$ , donde $S_T^i$ es el precio de la acción al vencimiento para el $i$ El sorteo.
Utilizando los mismos sorteos uniformes, y aplicando el método de la variante antitética, se $E(\text{Payoff}) = \frac{1}{2n} \sum_{i = 1}^{2n} C(S_T^i, K, T) > 0$ ¿necesariamente?
Mi intuición me dice que sí, pero no tengo forma de convencerme de por qué.
