¿Cómo se tienen en cuenta los descuentos en las soluciones analíticas de Black-Scholes para valorar las opciones de barrera?
En el libro de Hull, no tiene en cuenta los descuentos en las fórmulas. ¿Puede alguien indicarme un documento o literatura que lo haga?
Se puede escribir el pago como
$$(S_T-K)_+ I_{\min S_t > L} + RI_{\min S_t < L}$$
para la llamada "down and out".
El primer término es la llamada estándar. El segundo es la rebaja. Su valor es $$ Re^{-rT} P( \min S_t < L). $$
Existe una fórmula estándar para esta probabilidad. Véase, por ejemplo, mi libro Conceptos.
Tengo una pregunta sobre el valor de la rebaja, ¿cómo podemos tomarla? ¿Está fijado en las cláusulas del contrato? He visto que a veces se elige entre 0 y 1. En mi opinión la elección del rappel depende del precio de ejercicio, ¿no?
Pensé que las opciones KO podrían pagar el reembolso tan pronto como se cruzara la barrera, por lo tanto, no sólo al vencimiento, se habría producido el cruce. En este caso, la retribución es ligeramente diferente, ya que el momento de pago del reembolso podría ser aleatorio: la opción lo pagaría al cruzar, por ejemplo.
Para el pago en el momento de golpear $\tau$ , básicamente hay que tener la función de densidad $\varphi$ de la $\tau$ y luego calcular la integral $$\int_0^T e^{-rt} \varphi(t) dt.$$ En el caso de un tipo de interés constante $r$ y la volatilidad constante $\sigma$ tanto la función de densidad $\varphi$ y la integral $\int_0^T e^{-rt} \varphi(t) dt$ puede calcularse analíticamente. Véase el documento Fórmulas cerradas para las opciones exóticas y su distribución vitalicia por Raphael Douady.
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¿Cuándo se paga el reembolso? Si es al vencimiento, es bastante fácil.
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@MarkJoshi, al vencimiento pero también me gustaría saber cómo se hace si se puede pagar en cualquier momento antes también.