¿Solución rigurosa del juego líder-seguidor de Stackelberg con N jugadores?

Question

En el juego clásico de Stackelberg de dos jugadores (Cournot secuencial) tenemos una función de demanda lineal $P = 1 - Q$ donde $Q = \sum_0^2 q_i $ y suponemos un coste de producción homogéneo $c$ . Empezando por el "fondo" del juego, donde el jugador 2 conoce la salida elegida por el jugador 1 y reacciona a ella de la mejor manera, y luego moviéndose "hacia arriba" asumiendo que el jugador 1 anticipa esta respuesta, se puede demostrar que el juego tiene soluciones de equilibrio:

$$ q_1^\star = \frac{1-c}{2} $$ $$ q_2^\star = \frac{1-c}{4} .$$

Podemos seguir el mismo procedimiento con 3, 4 o más jugadores y descubrir el patrón: $$ q_n^\star = \frac{1-c}{2^n} .$$

He estado intentando elaborar una prueba matemática rigurosa, digamos por inducción u otros métodos, para demostrar que esto tiene que ser así, pero no he conseguido encontrar ninguna. ¿Puede alguien ayudarme, por favor?

Answer 1

Dejemos que $c = 0$ y $Q_k = \sum_{i = 1}^k{q_i}$ . Para $j = n$ la mejor respuesta viene dada por \begin{align} b_n(Q_{n-1}) = \arg\max_{q_n}(1 - Q_{n-1} - q_n)q_n = \frac{1- Q_{n-1}}{2}. \end{align} Para $j = n-1$ la mejor respuesta viene dada por \begin{align} b_{n-1}(Q_{n-2}) =& \arg\max_{q_{n-1}}(1 - Q_{n-2} - q_{n-1} - b_n(Q_{n-1}))q_{n-1} = \frac{1- Q_{n-2}}{2}. \end{align} Se puede demostrar que para cualquier $k \in \{1,\ldots,n\}$ la mejor respuesta viene dada por \begin{align} b_k(Q_{k-1}) = \arg\max_{q_k}\left(1 - Q_{k-1} - q_k - \sum_{\ell=k+1}^n{b_\ell}(Q_{\ell-1})\right)q_{n-1} = \frac{1- Q_{k-1}}{2}. \end{align} Tenga en cuenta que $q_1^* = b_1(0) = \frac{1}{2}$ . De ahí se desprende \begin{align} q_n^* = b_n(Q^*_{n-1}) =& \frac{1 - (q_1^* + q_2^* + q_3^* + \ldots + q_{n-1}^*)}{2}\\ =& \frac{1 - \left(q_1^* + \frac{1 - q_1^*}{2} + \frac{1 - q_1^* - q_2^*}{2} + \ldots + \frac{1 - (q_1^* + q_2^* + q_3^* + \ldots + q_{n-2}^*)}{2}\right)}{2}\\ =& \frac{1 - \left(q_1^* + \frac{1 - q_1^*}{2} + \frac{1 - q_1^* - \frac{1 - q_1^*}{2}}{2} + \ldots + \frac{1 - \left(q_1^* + \frac{1 - q_1^*}{2} + \frac{1 - q_1^* - q_2^*}{2} +\ldots + q_{n-2}^*\right)}{2}\right)}{2}\\ \vdots\\ =& \frac{1-q_1^*}{2^{n-1}}\\ =& \frac{1}{2^n} \end{align}

Answer 2

Como cada nuevo jugador se enfrenta a la curva de demanda residual del jugador anterior, siempre acaba produciendo la mitad de la cantidad del jugador anterior.