¿Es el hicksiano siempre más empinado que el marshalliano?

Question

La curva de demanda compensada elimina los efectos de la renta. Sólo refleja los efectos de sustitución. Dado que la curva de demanda marshalliana refleja los efectos de la renta, ¿no significa esto que siempre es más elástica que la hicksiana, porque la cantidad es más sensible al precio, y por tanto siempre es más superficial?

Lo sabemos:

$$ x_{c}(p_{x},p_{y},U) = x_{m}(p_{x},p_{y},E(p_{x},p_{y},U)) $$ y $$ \frac{\partial x_{c}}{\partial p_{x}} = \frac{\partial x_{m}}{\partial p_{x}} + \frac{\partial x_{m}}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial p_{x}} $$ Dónde $E$ es la función de gasto $E(p_{x},p_{y},U)$ y $U$ es la utilidad.

El segundo término representa la eliminación del efecto renta, es decir $ -\frac{\partial x_{m}}{\partial E}\frac{\partial E}{\partial p_{x}} $ .

Ahora me pregunto si el término $\frac{\partial x_{m}}{\partial E}$ que es igual a $\frac{\partial x_{m}}{\partial I}$ bajo el supuesto de que toda la renta se gasta es diferente para los bienes normales e inferiores y si este efecto siempre invierte la relación de inclinación.

Answer 1

Dado $x_{m}$ en forma de Slutsky

$$ \frac{\partial x_{m}(p_{x},p_{y},I)}{\partial p_{x}} = \frac{\partial x_{m}}{\partial p_{x}} \rfloor_{U=constant} - x_{c} \frac{\partial x_{m}}{\partial p_{x}} \\ = \text{substitution effect} + \text{income effect} $$

De Nicholson y Snyder (Teoría microeconómica, 12ª edición) (p. 158) "El signo del efecto renta $-x_{c}\partial x/\partial I$ depende del signo de $\partial x/\partial I$ . Si $x$ es un bien normal, entonces $\partial x/\partial I$ es positivo y todo el efecto renta, al igual que el efecto sustitución, es negativo...En el caso de un bien inferior, $\partial x/\partial I < 0$ y los dos términos tienen signos diferentes. Por lo tanto, el impacto global de un cambio en el precio de un bien es ambiguo: todo depende de las dimensiones relativas de los efectos. Es posible, al menos teóricamente, que, en el caso de un bien inferior, el segundo término domine al primero, dando lugar a la paradoja de Giffen..."