¿Cómo se establece la unicidad de una relación de preferencia racional?

Question

Estoy repasando una prueba en Mas Colell y no estoy entendiendo cómo (iii) muestra la unicidad de la relación de preferencia racionalizadora. Lo entiendo bien $\beta$ es el conjunto de potencias por lo que contiene todos los elementos pares, y $C(.)$ nos da la preferencia por estos pares, pero cómo es que esto implica la unicidad de la relación de preferencia racional.

En otras palabras, ¿cómo se descarta la posibilidad de que no exista ninguna otra relación de preferencia racional? ¿Podríamos empezar asumiendo que existe alguna otra relación racional de preferencia y llegar a una contradicción, lo que implicaría la unicidad?

Answer 1

Supongamos que, hacia una contradicción, que ambos $\succeq$ y $\succeq^\ast$ racionalizar la función de elección y que son diferentes.

El hecho de que $\succeq$ y $\succeq^\ast$ son diferentes significa que deben existir opciones $x, y$ tal que $\succeq$ y $\succeq^\ast$ no están de acuerdo en la preferencia sobre $x$ y $y$ . Así, por ejemplo, $x \succeq y$ y $y \succ^\ast x$ .

Entonces, como $\succeq$ racionaliza $C$ Debe ser que $$ x \in C(\{x,y\}). \tag{1} $$ Por otro lado, como $y \succ^\ast x$ y $\succeq^\ast$ también racionaliza $C$ Debe ser que $\{y\} = C(\{x,y\})$ lo que implica que $$ x \notin C(\{x,y\}). \tag{2} $$ Vemos que $(1)$ y $(2)$ se contradicen entre sí.

Otros casos conducen a contradicciones similares.