Es la independencia media condicional, $E(e_i | x_i)=0$ , una suposición diferente a la de $E(x e) = 0$ ? (de Hansen)

Question

Esta pregunta se desprende de la econometría de Hansen (( https://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/Econometrics.pdf ))

En la sección 2.18, sólo imponemos los supuestos de varianza finita y $Q_{xx}$ siendo positiva definida, y luego derivar el coeficiente de proyección lineal $\beta = E(\textbf{x} \textbf{x}^\prime)^{-1} E(\textbf{x} y)$ como el minimizador del error cuadrático esperado del modelo de proyección lineal $y = \textbf{x}^\prime {\beta} + e$ . Esto lleva a la implicación (NO a la suposición) de que $E(\textbf{x} e) = \textbf{0}$ .

Entonces, en la sección 4.4, bajo la hipótesis 4.2, tenemos: $E(e_i | \textbf{x}_i)=0$ .

Mi pregunta es: ¿es $E(e_i | \textbf{x}_i)=0$ un supuesto recién impuesto en el capítulo 4? ¿O es equivalente a la condición $E(\textbf{x} e) = \textbf{0}$ al que llegamos en el capítulo 2, no por suposición sino por implicación?

Sé que $E(\textbf{x} e) = E(E(\textbf{x} e|\textbf{x})) = E(\textbf{x} E(e|\textbf{x}))$ (por la ley de las expectativas iteradas y el teorema del condicionamiento, respectivamente), por lo que imponiendo el supuesto de que $E(e|\textbf{x}) = \textbf{0}$ da lugar a la implicación de que $E(\textbf{x} e) = \textbf{0}$ . Pero, ¿es lo contrario? ¿Es posible que $E(e_i | \textbf{x}_i)=0$ seguir de $E(\textbf{x} e) = \textbf{0}$ o es $E(e_i | \textbf{x}_i)=0$ un nuevo supuesto que estamos imponiendo?

Answer 1

$E(\mathbf{x}e)=0$ no implica $E(e|\mathbf{x})=0$ Para ver esto, supongamos que x es una variable que siempre toma el valor de cero, pero $e$ es independiente de $\mathbf x$ y tiene una media de, digamos, $3$ . Entonces el valor esperado del producto es necesariamente $0$ pero la expectativa condicional será igual a 3 (dada la independencia, la media condicional es igual a la media incondicional).