Cuando el óptimo global está fuera del conjunto de restricciones, ¿cuál será la demanda?

Question

$u:\mathbb R^n\to\mathbb R$ es una función de utilidad casi cóncava, por lo que las curvas de indiferencia son convexas.

$a,b\in\mathbb R^n$ son dos puntos. Nuestro conjunto de presupuestos es el segmento (unidimensional) $[a,b]$ que conecta $a$ y $b$ .

Dada: $$x^*=\arg\max_{x\in[a,b]}u(x)$$

Dejemos que $b'$ sea un punto del segmento $[a,x^*]$ . Es decir: $b'=\lambda a+(1-\lambda)x^*$ para cualquier $\lambda\in[0,1]$ .

Pruébalo:

$$b'=\arg\max_{x\in[a,b']}u(x)$$

Gráficamente este resultado es muy sencillo, pero no sé cómo demostrarlo matemáticamente.

Creo que podríamos empezar a demostrar que $u(\lambda a+(1-\lambda) x^*)$ es monotónicamente decreciente con $\lambda$ .

¿Hay nombres relacionados con la teoría?

Answer 1

1. Argumente que, dadas sus suposiciones sobre la función de utilidad, $x^*$ es el máximo esencialmente único (y por tanto global). (Esto es necesario porque puede haber máximos locales cuando se relajan los supuestos de la función de utilidad, lo que violaría la proposición que se intenta demostrar).

2. Ahora basta con utilizar la definición de óptimo global: para cualquier $x\leq x^*$ , $u(x)\leq u(x^*)$ . Esto debería ser suficiente para obtener el resultado.