La propiedad de martingala: ¿por qué solo para el modelo de Black Scholes?

Question

En el modelo de Black Scholes, el proceso de precio normalizado es una martingala bajo la medida de martingala $Q$.

Lo que no entiendo es, ¿por qué se limita esto solo al modelo de Black Scholes? ¿No es válido para el modelo general donde $$dS(t) = S(t)\alpha(t, S(t))dt + S(t)\sigma(s, S(t))dW(t)?$$

Al menos me pidieron que demostrara esta propiedad, y no tuve que asumir que $\alpha$ y $\sigma$ fueran constantes. ¿Estuvo mal mi demostración?

La forma en que lo demostré fue que primero encontré $d\Pi(t)$ usando la fórmula de evaluación de riesgo neutral, y luego utilicé la fórmula de Ito multidimensional en la relación del proceso de precio sobre el activo sin riesgo. La parte de dt simplemente se canceló, y me quedé solo con dW(t), y entonces es una martingala.

EDITAR:

De hecho, aquí en el texto de Bjork. Él también afirma la propiedad de martingala en la sección generalizada con el modelo como se indicó anteriormente, y luego poco después tiene una subsección donde se enfoca estrictamente en el estándar modelo de Black Scholes. Esto solo agrega a mi confusión: si el resultado es válido generalmente, ¿por qué afirma en el teorema que solo se cumple en el modelo de Black Scholes? ¿Y por qué no coloca este teorema dentro de la subsección 7.5 donde se limita precisamente al modelo de Black Scholes??

Answer 1

No es una propiedad en sí misma.

Más bien, es la ausencia de oportunidades de arbitraje lo que requiere que los precios "normalizados" de las estrategias de inversión autofinanciadas surjan como martingalas bajo alguna medida de probabilidad equivalente a la medida física, donde por "normalizados" se debe entender, "precios expresados con respecto a cierto numerario", siendo un numerario cualquier activo negociable de valor positivo que servirá como base relativa para expresar el valor de otros activos/estrategias autofinanciadas.

Esto claramente no se limita al modelo de BS. Cualquier modelo de valoración que funcione bajo la suposición de "sin almuerzo gratis" debe verificar eso.

Sin embargo, para modelos de difusión pura como BS, esas medidas equivalentes de martingala son únicas (es decir: existe una medida única por tipo de numerario, la medida de riesgo neutral asociada al numerario de la cuenta de mercado libre de riesgo). Esto no es el caso para modelos de volatilidad estocástica o modelos que incluyen saltos aleatorios. Hablamos de (in)completitud del modelo (del mercado).