Ajuste de la estructura de plazos de los bonos de descuento con Ho-Lee

Question

Ahora estaba leyendo un libro sobre la modelización de los tipos de interés, y tengo problemas para imaginarme las cuestiones prácticas de la calibración del modelo con el modelo de Ho-Lee.

Al parecer, uno de los inconvenientes de este modelo es el siguiente:

El modelo Ho-Lee tiene efectivamente dos parámetros $-$ $r(0)$ y $\sigma_r$ $-$ con la que se puede intentar ajustar la curva de rendimiento inicial. Debe quedar claro que esto es insuficiente para ajustarse adecuadamente a los precios observables de los bonos de descuento, lo que descalifica efectivamente el modelo de las aplicaciones prácticas de fijación de precios

Justo después, el libro dice lo siguiente

Afortunadamente, el remedio es bastante sencillo: basta con introducir una función determinista $a(t)$ y modificar el modelo para que sea $r(t) = r(0) + a(t) + \sigma_rW(t)$ con $a(0) = 0$

Dos preguntas:

1. ¿Cómo debo calibrar este modelo? ¿Hay algún método en particular que sea el más popular?
2. ¿Por qué, según la primera cita, no podemos encajar las estructuras de términos con Ho-Lee en absoluto? ¿Es siempre así? Y, concretamente, ¿cómo mejora tanto las cosas un parámetro dependiente del tiempo?

Answer 1

A lo que se refieren es a una versión muy simplificada del modelo de Ho-Lee, es decir, en la que se asume $$r(t)=r(0)+{\sigma}W(t)$$ donde ${\sigma}$ es una constante (StDev anualizado).

Para simplificar, imaginemos que estamos en tiempo discreto y queremos ajustar el modelo a los precios observados (de mercado) de los bonos. Suponemos que $p=0.50$ es decir, la probabilidad de que el tipo de interés suba/baje es constante y el tipo de interés se modela como $$r_{i+1,j}=r_{i,j}+{\sigma}\times\sqrt{\Delta}$$ (la tasa que sube) y $$r_{i+1,j}=r_{i,j}-{\sigma}\times\sqrt{\Delta}$$ (la tasa que baja).

Está claro que estamos en el modelo de celosía binomial y que el ${\Delta}$ es el paso de tiempo. De nuevo, para simplificar, supongamos que ${\Delta}=1.0$ (años). (Por cierto, estas ecuaciones son coherentes con las explicaciones de Veronesi en su libro sobre la renta fija)

Supongamos que ${\sigma}=0.02$ y tengamos un ZCB con vencimiento a 1 año con precio de mercado de 97,5310 y un ZCB a 2 años con precio de 94,12.

Por lo tanto, $r(0)=0.025$ (es decir $97.5310{\times}e^{0.0250}=100$ ) y ahora se puede construir todo el entramado, es decir, en el siguiente periodo la tasa de subida es $0.045$ y el índice de bajada es $0.005$ . Si el precio del ZCB 2y (asumiendo cara de $100$ ) se obtiene $e^{-0.0250}{\times}0.50{\times}(e^{-0.045}*100+e^{-0.005}*100)=95.142$ que no se corresponde con el precio de mercado de 94,12.

Introduciendo otro término en la ecuación, es decir

$$r_{i+1,j}=r_{i,j}+ {\color{red}{\theta_i}} + {\sigma}\times\sqrt{\Delta}$$

se utiliza el precio observado del bono 2y para ajustar exactamente el entramado, es decir, los precios del mercado coincidirán con los precios del modelo. El ${\theta_{i}}$ s se llaman parámetros libres y realmente los eliges para fijar exactamente los precios ZCB dados (por qué: quieres que tu modelo sea lo suficientemente bueno como para ajustarse a los precios del mercado).

En cuanto a la calibración del modelo, se puede utilizar el solucionador numérico y resolver iterativamente para ${\theta}_1$ , ${\theta_2}$ etc. Se puede obtener una expresión exacta (analítica) para cada uno de ellos si es necesario (a diferencia del modelo BDT), pero los solucionadores numéricos son rápidos, fáciles y tienen una precisión suficientemente buena.