Derivación de la fórmula de convexidad

Question

Supongamos que tengo un bono que paga un cupón semestral. Por lo tanto, el precio de este bono se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

$$ P = \sum_{i=1}^N \frac{CF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$

La primera derivada de lo anterior es:

$$ \frac{\partial P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/2)} \sum_{i=1}^N \frac{-2t_iCF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$

La segunda derivada (también conocida como convexidad) de la función Precio es:

$$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/2)^2} \sum_{i=1}^N \frac{({4t_i}^2+2t_i)CF_i}{(1 + YTM/2)^{2t_i}} $$

Y la forma generalizada de la fórmula de convexidad para los bonos que pagan varios cupones al año es:

$$ \frac{\partial^2 P}{\partial YTM} = \frac{1}{(1 + YTM/f)^2} \sum_{i=1}^N \frac{({(ft_i)}^2+ft_i)CF_i/f}{(1 + YTM/f)^{ft_i}} $$

Estoy obteniendo resultados ligeramente diferentes cuando comparo mis resultados con Tortuga biónica . ¿Hay algún error en mi derivación?

Gracias.

Answer 1

Has omitido el término de la regla de la cadena en la primera derivada y en la segunda derivada.

La primera derivada debería ser: $$\frac{\partial P}{\partial YTM} = \frac{1}{2(1+YTM/2)} \sum_{i=1}^N \frac{-2 t_i CF_i}{(1+YTM/2)^{2 t_i}} $$

La segunda derivada debería ser: $$\frac{\partial^2 P}{\partial YTM^2} = \frac{1}{4(1+YTM/2)^2} \sum_{i=1}^N \frac{(4 t_i^2 + 2t_i) CF_i}{(1+YTM/2)^{2 t_i}} $$

Con la "f" en lugar del "2": $$\frac{\partial^2 P}{\partial YTM^2} = \frac{1}{f^2(1+YTM/f)^2} \sum_{i=1}^N \frac{(( f t_i)^2 + f t_i) CF_i}{(1+YTM/f)^{2 t_i}} $$

Espero que esto ayude.