Consideremos una función de utilidad indirecta de la forma
$v^{i}(\textbf{p},w^{i}) = a^{i}(\textbf{p}) + b^{i}(\textbf{p})w^{i}$
Dónde $\textbf{p}$ es un vector de precios y $w$ denota los ingresos del individuo $i$ . Quiero encontrar las restricciones en $a^{i}(\textbf{p})$ y $b^{i}(\textbf{p})$ de manera que las preferencias sean homotéticas.
Empiezo usando la identidad de Roy para encontrar la demanda marshalliana del bien $j$ :
$x_{j}(\textbf{p},w^{i}) = -(\frac{\partial a^{i}}{\partial p_{j}} + \frac{\partial b^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{j}} w^{i})/b^{i}(\textbf{p})$
Para comprobar las preferencias homotéticas encuentro una expresión para $\frac{x_{j}}{x_{k}}$ de manera que sea independiente de los ingresos. Encuentro que $\frac{x_{j}}{x_{k}} = \frac{(\frac{\partial a^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{j}}+\frac{\partial b^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{j}}w^{i})}{(\frac{\partial a^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{k}}+\frac{\partial b^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{k}}w^{i})}$
Así que (suponiendo que no he cometido un error de diferenciación), la expresión es independiente de la renta siempre que $\frac{\partial b^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{k}} = \frac{\partial b^{i}(\textbf{p})}{\partial p_{j}} = 0$ y no es necesario restringir $a^{i}(\textbf{p})$ aparte de que tiene que ser diferenciable.
