La fórmula que necesita es
interest = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r
donde
d is the monthly payment
r is the monthly rate = 0.08/12
s is the principal = 70000
x is the number of complete months = 2
q is the interest factor for the incomplete month = Int. Rate * days / 360
Obtención del importe de la mensualidad d utilizando el fórmula de pago del préstamo
d = r s/(1 - (1 + r)^-n) donde n = 36 months
∴ d = 70000 r/(1 - (1 + r)^-36) = 2193.55
Tomando la especificación de la OP para el interés debido
q = Int. Rate * days / 360 = 0.08 * 15/360
y aplicando la fórmula
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 1143.6
Los intereses acumulados desde enero hasta el 15 de marzo son 1143,6
Para explicar y demostrar el método, primero se obtienen los intereses de sólo los dos primeros meses
x = 2
q = 0
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 921.821
Comprobación: el interés de los dos primeros meses = 70000 r + (70000 (1 + r) - d) r = 921.821
El saldo después de dos meses = (70000 (1 + r) - d) (1 + r) - d = 66534.7
15 días de intereses sobre el saldo = 66534.7 * 0.08 * 15/360 = 221.782
interest = 921.821 + 221.782 = 1143.6 que coincide con el resultado de la fórmula.
Otro ejemplo: los intereses pagados después de 20 meses y 10 días.
x = 20
q = 0.08 * 10/360
interest = (d + d q - r s - (1 + q) (1 + r)^x (d - r s) + d r x)/r = 7129.67
Derivación de la fórmula
Aquí está el cálculo a mano alzada que lleva a la fórmula resultante.
r es la tasa mensual, s es el principal, n es el número de meses y d es el pago mensual
r = 0.08/12
s = 70000
n = 36
d = (r (1+r)^n s)/(-1+(1+r)^n) = 2193.55
Calcular los intereses de cada mes y el saldo a final de mes.
int[jan2016] = 70000 r
466.667
end[jan2016] = 70000 (1 + r) - d
68273.1
int[feb2016] = end[jan2016] r
455.154
end[feb2016] = end[jan2016] (1 + r) - d
66534.7
Cálculo de los intereses de 15 días sobre el saldo. Se puede utilizar un método aproximado como Int. Rate * days / 360 . Aquí, en cambio, he tomado la tasa diaria como root 365 del tasa efectiva anual : (1 + Int. Rate/12)^(days 12/365) - 1 ) que es como normalmente obtendría una tarifa diaria.
int[mar15th2016] = end[feb2016] ((1 + r)^(15*12/365) - 1)
218.376
Interés de enero al 15 de marzo = 466.667 + 455.154 + 218.376 = 1140.2
Resolver la ecuación de recurrencia
La solución para end[x + 1] = end[x] (1 + r) - d donde end[0] = s es
pn = (d-d (1+r)^x+r (1+r)^x s)/r
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Esto se puede utilizar para encontrar el equilibrio después de cualquier x número de meses completos.
with x = 1
p1 = pn = 68273.1
int1 = p1 + d - s = 466.667
with x = 2
p2 = pn = 66534.7
int2 = p2 + d - p1 = 455.154
int3 = p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 218.376
Interés de enero al 15 de marzo = int1 + int2 + int3 = 1140.2
Ampliación de la fórmula
La solución de recurrencia se puede utilizar en una suma para el interés después de x meses completos.
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La forma cerrada de la suma se puede encontrar por inducción
bx = (d (1+x r-(1+r)^x)+r (-1+(1+r)^x) s)/r
![enter image description here]()
with x = 2
b2 = bx = 921.821
total = b2 + p2 ((1 + r)^(15*12/365) - 1) = 1140.2
Fórmula final
Poner las fórmulas bx & pn juntos y simplificando, con q como factor de interés para los 15 días impares.
q = (1 + r)^(15*12/365) - 1
x = 2
bx = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r
pn = (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r
total = bx + pn q = (d (1 + x r - (1 + r)^x) + r (-1 + (1 + r)^x) s)/r +
q (d - d (1 + r)^x + r (1 + r)^x s)/r
∴ total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1140.2
Y alternativamente, con el método de la OP para calcular el devengo diario.
q = 0.08 * 15/360
total = (d+d q-r s-(1+q) (1+r)^x (d-r s)+d r x)/r = 1143.6
